Tiêu chuẩn Quốc gia TCVN 12740:2019 Ba cách tiếp cận thống kê đánh giá

đó là, Y được đánh giá, y = f(x₁,…, x_p), được lấy là giá trị đo được của θ.

8.1.8  Trong GUM, định luật lan truyền độ không đảm bảo được sử dụng để đánh giá độ không đảm bảo chuẩn, u(y), gắn với y. Độ không đảm bảo chuẩn u(x₁),..., u(x_p) gắn với các giá trị x = (x₁,..., x_p) được sử dụng trong khai triển chuỗi Taylor bậc 1 của hàm f(x₁,..., x_p) tại µ₁, ..., µ_p

Ký hiệu µ₁, ..., µ_p bằng µ, đạo hàm riêng

được gọi là hệ số độ nhạy. Áp dụng định luật lan truyền độ không đảm bảo trong GUM sẽ cho độ không đảm bảo chuẩn xấp xỉ gắn với y:

trong đó u(x_i, x_j) là hiệp phương sai giữa X_i và X_j.

8.1.9  Để đánh giá độ không đảm bảo chuẩn u(y), GUM sử dụng bậc tự do hiệu dụng v_eff tính từ công thức Welch-Satterthwaite,

CHÚ THÍCH: Tài liệu tham khảo [15] thảo luận về tính chất phản trực quan theo đó trong nghiên cứu liên phòng thí nghiệm khoảng tin cậy dựa trên phép xấp xỉ Welch-Satterthwaite đối với chênh lệch giữa các phòng thí nghiệm có thể ngắn hơn đối với một trong các thành phần của nó.

8.1.10  Cuối cùng, để thiết lập khoảng tin cậy cho θ, đại lượng then chốt xấp xỉ,

được sử dụng. Theo GUM,

đó là, W(Y, θ) là đại lượng then chốt xấp xỉ cố phân bố t với v_eff bậc tự do. Khoảng tin cậy 100(1 - α) %

đối với θ khi đó có thể được khuyến nghị là khoảng độ không đảm bảo 100(1 - α) %. Một nửa độ rộng t_veff,_{1 - α/2} u(y) của khoảng này được gọi là độ không đảm bảo mở rộng gắn với y.

8.1.11  Khuyến nghị này thống nhất với thực hành thống kê chuẩn khi tất cả các độ không đảm bảo được xác định bằng đánh giá Loại A, trong trường hợp mà ước lượng thống kê được sử dụng phổ biến nhất đối với đại lượng đầu vào cụ thể µ là trung bình mẫu của n giá trị quan trắc. Phương pháp truyền thống dùng cho tổng hợp dữ liệu để thu được độ không đảm bảo chuẩn Loại A của ước lượng này là với n - 1 bậc tự do. Điều này dựa trên thực tế là (n - 1 )S²/σ² có phân bố Khi-bình phương với n - 1 bậc tự do. Phương pháp này áp dụng cho các thống kê tổng quát hơn có dạng Y = G(X₁,...,X_p), trong đó các ước lượng, X_i, i = 1,...,p tuân theo định lý giới hạn trung tâm. Thực sự trong tình huống này, độ lệch chuẩn của Y có thể tính xấp xỉ bằng biểu thức (7) với u(x_i, x_j) thay bằng Cov(X_i,X_j).

Phương pháp GUM thể hiện trí tuệ tập thể của nhiều nhà khoa học đo lường nhưng bị giới hạn bởi các giả định về

- tính tuyến tính cục bộ của hàm f: lý tưởng là hệ số độ nhạy không nên biến động nhiều và không bị triệt tiêu;

- tính chuẩn của phân bố xác suất các ước lượng điểm Y = f(X₁,...,X_p): có thể không duy trì ngay cả là xấp xỉ đối với các mẫu nhỏ;

- giá trị sử dụng của công thức Welch-Satterthwaite (8): có thể không áp dụng được khi các đại lượng đầu vào phụ thuộc lẫn nhau, đại lượng đầu vào không theo phân bổ chuẩn và độ không đảm bảo chuẩn khác nhau (bậc tự do đối với các phân bố không liên quan đến luật Khi-bình phương rất khó để lý giải, chúng thực sự không được dùng trong lý thuyết thống kê).

8.1.12  Để phát triển biểu thức (7) trong bối cảnh tần suất, có thể sử dụng các khái niệm lý thuyết quyết định thống kê và giải thích phương sai (độ không đảm bảo chuẩn bình phương) u²(y) như là sai số bình phương trung bình của ước lượng thống kê của f(x₁, x₂, ..., x_p). Có thể thực hiện các bước này với điều kiện là các đại lượng có độ không đảm bảo được xác định bằng đánh giá Loại B, đó là x_m+1,...,x_p, được loại bỏ bằng cách lấy tích phân trên phân bố của chúng. Xem Tài liệu tham khảo [5], Nếu f “đủ gần để là tuyến tính”, thì biểu thức (7) sẽ cho xấp xỉ bậc một của sai số bình phương trung bình.

8.1.13  Thảo luận trong Ví dụ 1 cung cấp một quy trình tần suất thông thường khác để có được khoảng tin cậy.

8.2  Khoảng độ không đảm bảo bootstrap

8.2.1  Bootstrap là một chiến lược lấy mẫu lại ^[16] dùng cho ước lượng các tham số của phân bố như phương sai và xác định khoảng tin cậy cho các tham số khi dạng của phân bố cơ bản là chưa biết. Ý tưởng chính cho phương pháp bootstrap là mối quan hệ giữa phân bố xác suất tích lũy (CDF) F của Y và một mẫu từ F là tương tự với quan hệ giữa một CDF được ước lượng , nó có thể không phải là phân bố thực nghiệm tạo ra bởi mẫu đó, và mẫu thứ hai lấy từ . Khi không có sẵn F, việc lấy mẫu từ F không thể thực hiện được, nhưng máy tính hiện đại cho phép lấy một số lượng lớn từ . Vì vậy, ta sử dụng mẫu sơ cấp để hình thành xấp xỉ  của F rồi sau đó tính phân bố lấy mẫu của tham số ước lượng dựa trên . Tính toán này được thực hiện bằng cách lấy nhiều mẫu thứ cấp và tạo thành ước lượng (hoặc hàm của ước lượng) cho từng mẫu thứ cấp. Nếu  là xấp xỉ tốt của F thì H, phân bố lấy mẫu của ước lượng dựa trên , thường là xấp xỉ tốt cho phân bố lấy mẫu đối với ước lượng dựa trên F. H thường được gọi là phân bố bootstrap của tham số.

8.2.2  Có hai loại quy trình bootstrap hữu ích tương ứng với suy luận phi tham số và suy luận tham số. Bootstrap phi tham số dựa vào xem xét phân bố thực nghiệm tạo ra bởi mẫu sơ cấp từ F. Trong thiết lập bootstrap tham số, phân bố xác suất F là thành phần của một họ tham số quy định và  thu được bằng cách ước lượng (các) tham số từ dữ liệu.

CHÚ THÍCH: Vì trong các vấn đề đo lường điển hình, tập hợp dữ liệu không đủ lớn để đảm bảo giá trị sử dụng của cách tiếp cận bootstrap phi tham số nên cách tiếp cận này không được xem xét ở đây.

8.2.3  Giả định chính sử dụng trong thiết lập khoảng tin cậy GUM là (10). Giả định này có thể không gần đúng ngay cả với các vấn đề đơn giản. Tuy nhiên, bootstrap cho phép có được khoảng tin cậy mà không liên quan đến việc đưa ra các giả định như (10). Một cách để có được các khoảng này là cách tiếp cận “bootstrap-t”. Quy trình này tạo ra phân bố thực nghiệm cho đại lượng then chốt xấp xỉ W(Y,θ) [để thay thế phân bố t trong (10)]. Khi (10) là đúng, phân bố bootstrap-t sẽ tái tạo phân bố t. Khi đó, phân bố bootstrap-t thực nghiệm được sử dụng để thiết lập khoảng tin cậy theo cùng một cách mà phân bố t được sử dụng để xây dựng (11).

Về mối quan hệ giữa bootstrap và các phương pháp đề xuất trong GUMS1, xem 12.2.

8.2.4  Phác thảo về việc tạo ra mẫu bootstrap như sau đây. Giả định rằng x₁ và u(x₁) là trung bình và độ lệch chuẩn đối với biến ngẫu nhiên X₁, biến này được giả định là theo phân bố xác suất trong một họ tham số xác định. Để minh họa, ở đây sử dụng phân bố Gauss:

a) x₁ và u(x_i) là trung bình và độ lệch chuẩn ước lượng của biến ngẫu nhiên cỡ k theo phân bố Gauss.

b) Từ N(x₁, u²(x_i)), tạo ra một mẫu có cỡ mẫu k, đó là,

c) Từ  tính trung bình mẫu và sai số chuẩn mẫu u().

{, u()} là mẫu bootstrap của X₁. Tương tự, đối với một số B cho trước, B mẫu bootstrap có thể được tạo ra cho biến bất kỳ.

8.2.5  Giống như GUM lấy (x_i, u(x_i)), với i = 1, ..., p), làm đầu vào để tạo ra y, u(y) và W(Y, θ), các mẫu bootstrap {, u()}, i = 1,...,p (xem 8.2.4) có thể được lấy làm đầu vào, để tạo ra y*, u(y*), và

8.2.6  Để có được phân bố bootstrap cho W(Y, θ), với giá trị B lớn phù hợp, chẳng hạn 100 000, tạo ra B mẫu bootstrap {(b),u((b))}, i = 1,...,p, và với từng mẫu tính W*(b), b = 1,..., B. Phân vị thứ 100 α của phân bố t bootstrap của W(Y, θ) khi đó được tính xấp xỉ bằng giá trị  sao cho

trong đó IAI là số phần tử trong tập A. Cuối cùng, khoảng tin cậy bootstrap t 100(1 - α) % là

Phân vị Student-t là đối xứng qua 0, và kết quả là, (11) phải luôn đối xứng qua y. Ngược lại, phân vị bootstrap t sử dụng ở (13) có thể là bất đối xứng qua 0, dẫn đến khoảng độ không đảm bảo bất đối xứng qua y, điều này có thể cung cấp mô tả chính xác hơn về tình huống thực tế trong một số ứng dụng. Chi tiết về quá trình này trong việc thiết lập khoảng độ không đảm bảo 95 % được trình bày trong thuật toán dưới đây.

a) Đối với i = 1,..., p, sử dụng các phân bố đã cho của X_i, tạo B mẫu bootstrap

((1)),u((1))),...((B)),u((B))).

b) Đối với từng mẫu bootstrap ((b)),u((b))), i = 1,... p, và b = 1,..., B, tính y*(b), u(y*(b)) và W*(b) = (y*(b) - y)/u(y*(b)) theo GUM.

c) Ước lượng phân vị thứ 100α của phân bố bootstrap t của W(Y,θ) bằng giá trị sao cho

d) Khoảng tin cậy bootstrap t 95 % là (y - ∙ u(y) y +  ∙ u(y)).

8.2.7  Mẫu bootstrap có thể được sử dụng để thay cho u(y) bằng cách ước lượng độ lệch chuẩn của Y, khi phép xấp xỉ Taylor (6) được coi là không thích hợp. Để làm được điều này, với i = 1,..., p và b = 1,..., B, chỉ các ước lượng đầu vào (b) được tạo ra. Đối với mỗi mẫu bootstrap, y*(b) = f ((b),..., (b))được đánh giá. Ước lượng bootstrap của độ không đảm bảo chuẩn gắn với y là độ lệch chuẩn mẫu của B lần lặp:

8.2.8  Cuối cùng, khi phép xấp xỉ Taylor có thể không thích hợp và có sự bất đối xứng đáng kể trong phân bố cơ bản đối với Y, một bootstrap lồng của B₁ x B₂ mẫu bootstrap có thể được thực hiện để xây dựng khoảng bootstrap t sử dụng ước lượng độ lệch chuẩn bootstrap. B₁ mẫu bootstrap của các ước lượng đầu vào và y* tương ứng được tạo ra. Đối với mỗi mẫu bootstrap, u_c(y*) được tính bằng B₂ mẫu bootstrap mức hai, và đánh giá

Tập hợp B₁ các tỷ số này sau đó được dùng để ước lượng các phân vị của W(Y, θ), dẫn đến việc xây dựng khoảng bootstrap t như trong (13). Thuật toán để xây dựng khoảng độ không đảm bảo 95 % sử dụng bootstrap lồng được trình bày dưới đây.

a) Đối với i = 1,..., p, sử dụng phân bố của X_i, tạo ra B₁ mẫu bootstrap mức một (1),..., (B₁).

b) Đối với từng mẫu bootstrap mức một (b₁), i = 1,..., p, b₁ = 1,..., B₁ tính y*(b₁) = f((b₁),...,(b₁)) và W*(b₁) = (y*(b₁) - y)/u(y*(b₁)), trong đó u(y*(b₁))) được xác định bằng bootstrap mức hai sử dụng thuật toán sau đây:

1. Đối với i = 1,..., p, sử dụng phân bố của µ_i, tạo ra B₂ mẫu bootstrap mức hai (1) ...,(B₂).

2. Đối với mỗi mẫu bootstrap mức hai, đánh giá y*(b₂) = f((b₂),...,(b₂))

3. Tạo ước lượng bootstrap của độ không đảm bảo chuẩn của y*(b₁) như độ lệch chuẩn mẫu

của B₂ phép lặp, trong đó

c) Ước lượng phân vị thứ 100α của phân bố bootstrap t của W(Y, θ) bằng giá trị sao cho

d) Khoảng tin cậy “bootstrap-t lồng" 95 % là

Mặc dù đây là cách tiếp cận tổng quát hơn, bootstrap lồng liên quan đến máy tính nhiều hơn và khó thực hiện hơn. Phương pháp bootstrap đơn giản hơn được chọn để phân tích tất cả các ví dụ.

8.3  Ví dụ 1

8.3.1  Khái quát

8.3.1.1  Như một minh họa, xét mô hình thống kê được cho trong Ví dụ 1 ở Điều 7 là

trong đó θ là đại lượng đo, β thể hiện nền và ԑ_i là các sai số N(0, σ²) độc lập. Đối với giá trị β cố định, với γ ký hiệu cho trung bình của dữ liệu, công thức đo cho mô hình này là θ = f(β,γ) = γ - β.

8.3.1.2  Nếu nền, β, có phân bố đều trên khoảng (a - d a + d), thì khoảng đối với θ rút ra bằng cách sử dụng GUM là

Tài liệu tham khảo [5] đề cập đến các tính chất của các khoảng này và so sánh chúng với khoảng

được khuyến nghị bởi Eisenhart ^[17] và có thể được phát triển như dưới đây. Vì phân bố điều kiện của  đối với β cho trước là phân bố Gauss, N(θ + β,σ²/n)

trong khi

P(| a - β| ≤ d) = 1.

Từ đó kéo theo khoảng Eisenhart trong (15) vẫn bảo toàn, cụ thể là

8.3.1.3  Tuy nhiên, nếu d > 12σ/ , thì khoảng khuyến nghị trong GUM chứa khoảng (15) chứng tỏ sự khác biệt giữa hai cách tiếp cận này.

8.3.1.4  Khoảng (15) có thể được điều chỉnh cho tỷ số phân bố . Cũng có thể điều chỉnh khoảng này cho các phân bố khác của nền (hình tam giác, hình thang, v.v.). Còn có các phương pháp tần suất khác để xây dựng khoảng tin cậy trong tình huống này. Thực sự trong mô hình (14),  tổng hợp tất cả các thông tin dữ liệu về θ (tức là,  là thống kê đủ cho θ) với mật độ xác suất

Dạng đặc biệt của phân bố này cho phép suy ra ^[14] các khoảng tin cậy khác (tất cả tập trung ở ước lượng hợp lý cực đại, , nhưng khác nhau về độ dài).

8.3.2  Ví dụ 1a

Ví dụ đơn giản nêu trong Điều 7 tổng hợp các giá trị đo được trong mô hình (14) với  = 3,537 và  = 0,153. Giá trị nêu sau được thay cho  trong bất đẳng thức (16) và hệ số 2 cần được thay bằng phân vị của phân bố t với bậc tự do hiệu dụng 5,15. Trong Ví dụ 1a, nền β có thể được ước lượng từ các giá trị đo được được coi là lấy từ phân bố Gauss, dẫn đến  = 1,228 và = 0,059. Ước lượng thu được của θ là = 2,309 với độ không đâm bảo chuẩn kèm theo  = 0,164. Khoảng tin cậy GUM là

2,309 ± 2,548 x 0,164 = 2,309 ± 0,417 = (1,892; 2,727).

Khorng tin cậy bootstrap-t 100(1 - α) % theo (13) là (2,309 - 0,164∙; 2,309 + 0,164∙), trong đó  là phân vị thứ 100β của W* của (12).

Về lợi ích của người sử dụng ngôn ngữ R và WinBUGS, một số đoạn mã R ^[18] và đoạn WinBUGS ^[19] được dùng để minh họa một số khái niệm trong tiêu chuẩn này. Đối với Ví dụ 1a, chương trình R để tạo ra B = 10 000 thể hiện của W* được cho dưới đây.

Khoảng tin cậy bootstrap-t 95 % dựa trên các phân vị 0,025 và 0,975 của phân bố mô phỏng là

2.309 - quantile(w.star, c(0.975, 0.025))*0,164

# # 1.895754 2.7288172 2)

Tức là, khoảng tin cậy bootstrap-t 95 % được cho bởi (1,896; 2,729) 3)

8.3.3  Ví dụ 1b

Khi không có dữ liệu thống kê của nền, thay vào đó β được giả định là có phân bố đều trong khoảng (1,126 1,329). Khi đó, khoảng tin cậy xấp xỉ rút ra từ việc sử dụng GUM là

3,537-1,228 ± 2,533= 2,310 ± 0,415 = (1,895  2,724)

Khoảng tin cậy Eisenhart rộng hơn, cụ thể là

3,537 - 1,228 ± = 2,310 ± 0,526 = (1,783  2,836).

Tương tự Ví dụ 1a, khoảng tin cậy bootstrap-t có thể xây dựng cho θ. Đối với ví dụ này, các ước lượng và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo đối với y, β và θ có trị số giống với trong Ví dụ 1a, ngoại trừ β được xác định dựa trên kinh nghiệm hoặc ý kiến chuyên gia và độ không đảm bảo gắn với của nó thu được bằng đánh giá Loại B. Do đó, các thể hiện của W* được tạo ra theo cách khác với trong Ví dụ 1a, đó là, chỉ tạo ra mẫu bootstrap b* và độ không đảm bảo gắn với nó. Mẫu bootstrap b* lúc này được tạo ra từ phân bố đều (1,126 1,329) đã biết với độ không đảm bảo chuẩn 0,059. Dòng lệnh R dùng cho việc tạo ra B = 10 000 thể hiện W* như dưới đây.

Khoảng tin cậy bootstrap-t 95 % dựa trên các phân vị 0,025 và 0,975 của phân bố tạo ra là

Tức là, khoảng tin cậy bootstrap-t 95 % được cho bởi (1,919 2,700).

8.3.4  Ví dụ 1c

Vì  = 1,196, s = 0,047, cả hai khoảng đều có điểm cận dưới âm. Nếu trung bình θ đã biết là dương thì các điểm đầu mút này được thay bằng 0 dẫn đến khoảng khuyến nghị của GUM (0; 0,124) và khoảng Eisenhart (0 0,202).

Chương trình R dùng để tạo ra B = 10 000 thể hiện của W* để tạo ra khoảng bootstrap giống như Ví dụ 1b với  = 1,196 và u() = 0,047.

Khoảng tin cậy bootstrap-t 95 % không cắt là

Tức là, khoảng tin cậy bootstrap-t 95 % được cho bởi (-0,176; 0,113).

Vì θ đã biết là dương nên khoảng tin cậy bootstrap-t 95 % đã cắt đối với θ là (0; 0,113).

9  Cách tiếp cận Bayes để đánh giá độ không đảm bảo

9.1  Phương pháp cơ bản

9.1.1  Trong đo lường, đại lượng đo và các biến đầu vào của mô hình (1) là các đại lượng vật lý có giá trị đại lượng cố định. Tuy nhiên, trong cách tiếp cận Bayes, các tham số tương ứng µ_i và θ được coi là các biến ngẫu nhiên theo nghĩa là phân bố xác suất của chúng tổng hợp hiểu biết về các đại lượng này.

9.1.2  Khuôn khổ Bayes sử dụng định nghĩa xác suất cho phép xác định các phân bố xác suất mà không cần dữ liệu vật lý, ví dụ, sử dụng quy định kỹ thuật của nhà sản xuất hoặc kiến thức chuyên môn khác. Tuy nhiên, trong các ứng dụng đo lường điển hình, có các giá trị (dữ liệu) đo được của các đại lượng vật lý có thể sử dụng để ước lượng một hoặc nhiều đại lượng đầu vào. Trong trường hợp này, có thể thu được hàm mật độ xác suất cho đại lượng bằng cách sử dụng định lý Bayes như dưới đây. Lấy p(µ_i) là hàm mật độ xác suất cho µ_i, như đã cho trước khi thu được dữ liệu vật lý. Hàm này được gọi là mật độ tiên nghiệm cho µ_i. Lấy Y ký hiệu cho biến ngẫu nhiên có thể hiện y (dữ liệu) tồn tại. Mật độ xác suất p(y|µ_i) của Y được gọi là mô hình thống kê. Trong khuôn khổ Bayes, vì µ_i là biến ngẫu nhiên nên ký hiệu | thể hiện thực tế là mật độ xác suất của Y là có điều kiện đối với (hoặc phụ thuộc vào) µ_i. Đối với một thể hiện cụ thể p(y|µ_i) của Y, xem như hàm của µ_i được gọi là hàm hợp lý. Áp dụng định lý Bayes,

là mật độ hậu nghiệm của µ_i tổng hợp kiến thức về µ_i sau khi dữ liệu y_i được quan trắc.

9.1.3  Khi không có hiểu biết trước đó về µ_i, thì sử dụng phân bố tiên nghiệm gọi là phi thông tin ^[20]. Trong trường hợp có thông tin trước đó, thì thể hiện bằng phân bố xác suất có thông tin. Đây là một trong các cơ chế, trong cách tiếp cận Bayes, nhằm bao gồm thông tin được sử dụng để thực hiện đánh giá độ không đảm bảo Loại B. Dạng của hàm hợp lý thường được chọn dựa trên hiểu biết về quá trình tạo ra dữ liệu.

9.1.4  Dạng của hàm hợp lý và các mật độ tiên nghiệm xác định hình dạng của mật độ hậu nghiệm. Điều quan trọng là chọn kỹ hàm hợp lý và mật độ tiên nghiệm và thực hiện phân tích độ nhạy các kết quả về những thay đổi hợp lý trong các phân bố này. Đối với các phân bố tiên nghiệm, điều này có thể nghĩa là so sánh các kết quả của việc sử dụng nhiều mật độ khác nhau. Kiểm nghiệm tính thích hợp của hàm hợp lý (mô hình thống kê mô tả dữ liệu đo) là một hình thức xác nhận giá trị mô hình ^[21], áp dụng giống nhau với các mô hình Bayes, tần suất và dựa vào sự tin tưởng.

9.1.5  Có thể giải thích định nghĩa về độ không đảm bảo đo nêu trong phần giới thiệu trong bối cảnh thống kê Bayes khi quy về phân bố xác suất hậu nghiệm đối với đại lượng đo θ, đó là, độ không đảm bảo chuẩn là độ lệch chuẩn của biến (đại lượng) ngẫu nhiên đặc trưng bởi phân bố xác suất này. Để thu được độ lệch chuẩn này, trước tiên cần tìm phân bố xác suất đồng thời của µ_i rồi sau đó áp dụng công thức thay đổi của biến ^[14] để rút ra phân bố cho θ. Mô men của phân bố này có thể thu được đơn giản hơn như trình bày dưới đây. Đối với hàm h(θ), có giá trị mong muốn E(h(θ) = ʃ...ʃh(f(µ₁,..., µ_p)) p(µ₁,..., µ_p)dµ₁...dµ_p. Phương sai tương ứng có thể thu được là Var(θ) = E(θ²) - [E(θ)]². Thông thường, tích phân cần thiết được thực hiện bằng các phương pháp Monte Carlo ^[20].

9.1.6  Khi µ_i là các biến ngẫu nhiên độc lập, phân bố xác suất đồng thời của chúng là tích của các phân bố riêng lẻ. Tuy nhiên, trong nhiều tình huống, µ_i không độc lập như khi phân bố xác suất của Y là hàm của µ₁ và µ₂, tức là, p(y|µ₁, µ₂) là mô hình thống kê và p(µ₁, µ₂) ≠ p(µ₁) p(µ₂). Khi đó, mật độ hậu nghiệm đối với (µ₁, µ₂) thu được là

9.1.7  Tình huống phổ biến dẫn đến sự phụ thuộc này là khi mô hình thống kê là hàm của θ cũng như của một số µ₁. Cả hai ví dụ xét ở đây đều thuộc loại này, minh họa điểm mà theo cách tiếp cận Bayes, bất cứ khi nào có sẵn dữ liệu đo, quá trình quy định phân bố xác suất liên quan đòi hỏi xác định thích hợp mô hình thống kê. Thực hiện việc này sẽ tự động dẫn đến các hàm hợp lý cần thiết cho ứng dụng định lý Bayes và các mật độ hậu nghiệm thích hợp. Quá trình này có thể được tổng hợp như dưới đây.

a) Xác định tất cả các dữ liệu đo liên quan đến các đại lượng vật lý quan tâm (tham số).

b) Quy định mô hình thống kê (còn gọi là mô hình quan trắc) liên hệ dữ liệu với các tham số, có thể là µ₁ hoặc đôi khi là đại lượng đo θ.

c) Quy định các phân bố tiên nghiệm đối với tất cả các tham số liên quan.

d) Áp dụng định lý Bayes để có được các phân bố hậu nghiệm cho các tham số.

e) Tính trung bình hậu nghiệm và độ lệch chuẩn hậu nghiệm của đại lượng đo.

f) Tiến hành phân tích độ nhạy của các kết quả đối với những thay đổi hợp lý trong phân bố tiên nghiệm.

9.1.8  Khi thích hợp, có thể sử dụng phép xấp xỉ chuỗi Taylor và giả định tính chuẩn để tránh các tính toán số học. Cụ thể, có thể sử dụng khai triển chuỗi Taylor f(µ_i,..., µ_p) về các giá trị mong muốn của µ_i cùng với giả định tính chuẩn để công bố là f(µ_i,..., µ_p) xấp xỉ phân bố như v(f( E(µ₁),..., E(µ_p)), ω²), trong đó

Cov(µ_i, µ_j) ký hiệu cho hiệp phương sai của µ_i và µ_j, và c_i là đạo hàm riêng của θ đối với µ_i đánh giá tại các giá trị mong muốn của µ_i.

CHÚ THÍCH: Tương tự như công thức (6) và (7) được sử dụng ở 8.1.8, nhưng có sử dụng phép khai triển để tìm ước lượng phương sai của ước lượng θ chứ không phải cho θ.

9.2  Ví dụ 1

9.2.1  Khái quát

Quá trình này giờ được minh họa ở Ví dụ 1 trong Điều 7. Đại lượng đo trong ví dụ này được ký hiệu là θ. Mô hình đo được mô tả trong 8.3.1.1 là

9.2.2  Ví dụ 1a

9.2.2.1  Có hai tập hợp dữ liệu liên quan: (i) năm giá trị đo được y_i, thu được độc lập, của tín hiệu cộng với nền, và (ii) năm giá trị đo được b_i, thu được độc lập, riêng của nền. Mỗi giá trị trong tập dữ liệu (i) được coi như thể hiện của biến ngẫu nhiên Y, có phân bố Gauss với trung bình γ = θ + β và độ lệch chuẩn σ_y, cũng tương tự đối với từng giá trị trong (ii) nhưng đối với biến ngẫu nhiên B_i, với trung bình β và độ lệch chuẩn σ_B. Do đó, mô hình thống kê đối với Y_i là

và vì năm giá trị đo được là độc lập, nên

9.2.2.2  Mô hình thống kê đối với B_i là

đó là,

9.2.2.3  Vì hai tập hợp quan trắc độc lập với nhau nên mô hình thống kê đối với Y và B là

9.2.2.4  Có bốn tham số, θ, β, σ_Y và σ_B, được ấn định cho phân bố tiên nghiệm. Trong ví dụ này, không có thêm thông tin về các tham số này ngoài việc chúng không âm, và do đó biến ngẫu nhiên sẽ được lấy là độc lập. Mong muốn rằng dạng của phân bố tiên nghiệm có ảnh hưởng ít nhất đến các kết quả phân tích. Ảnh hưởng này thu được từ việc sử dụng cái gọi là tiên nghiệm tham chiếu ^[20]. Đối với các tham số gắn với trung bình, tức là θ và β, mật độ này có thể tính xấp xỉ bằng

θ ~ Uniform (0, c), β ~ Uniform (0, c)

với một giá trị lớn cho c. Đối với tham số thang đo σ_Y và σ_B, mật độ tiên nghiệm tham chiếu

p(σ_Y) = 1/σ_Y, p(σ_B) = 1/σ_B

là không đúng, tức là, chúng không có tích phân bằng 1. Vì khía cạnh này có thể gây khó khăn trong tính toán số học nên mật độ đúng là

σ_Y ~ Uniform (0, c),

hoặc

σ_Y ~ Gamma(c, c),

với các giá trị c lớn được sử dụng. Ký hiệu Gamma(ϕ₁, ϕ₂) thể hiện phân bố gamma với các tham số ϕ₁ và ϕ₂, tức là, đối với biến ngẫu nhiên X, mật độ xác suất này được cho bởi

Điều này hoàn thành quy định về các phân bố tiên nghiệm.

9.2.2.5  Áp dụng định lý Bayes dẫn đến mật độ hậu nghiệm đồng thời đối với θ, β, σ_Y và σ_B như sau:

Mật độ hậu nghiệm của đại lượng đo θ thu được bằng tích phân

Phân bố hậu nghiệm này tổng hợp tất cả thông tin về θ sẵn có sau khi thu được các giá trị đo được. Kỳ vọng của phân bố này được lấy làm ước lượng của đại lượng vật lý và độ lệch chuẩn của phân bố này được sử dụng làm độ không đảm bảo chuẩn gắn với ước lượng này. Từ phân bố này sẽ dễ dàng thu được khoảng phủ cho đại lượng đo. Khoảng phủ này là khoảng các giá trị có thể có đối với θ với xác suất cố định. Trong thống kê Bayes, khoảng này được gọi là khoảng đáng tin cậy. Trong nhiều trường hợp, phương pháp số học được sử dụng để thực hiện các tích phân cần thiết khi áp dụng định lý Bayes. Một phương pháp khác có thể rút ra từ phân bố hậu nghiệm là phân bố Markov Chain Monte Carlo (MCMC) ^[22] sử dụng phần mềm WinBUGS ^[19]. Các dòng lệnh cho ví dụ này, với phân bố tiên nghiệm có c = 100, được cho như sau đây

Với dữ liệu cho trong 7.2, với n = 5, chương trình tạo ra trung bình hậu nghiệm của θ là 2,309 và độ lệch chuẩn hậu nghiệm là 0,247. Khoảng tin cậy 95 % đối với θ là (1,805, 2,815). Phân tích độ nhạy Bayes đối với những thay đổi về hình thức của bốn phân bố tiên nghiệm có thể được thực hiện bằng cách thay đổi giá trị của c (xem 9.2.2.4) và bằng cách thay thế các dòng

cho bốn dòng

và so sánh các giá trị thu được của trung bình và độ lệch chuẩn hậu nghiệm. Các kết quả trong ví dụ này là ổn định với các thay đổi như vậy.

9.2.3  Ví dụ 1b

9.2.3.1  Thông tin về tham số nền β được cung cấp dưới dạng phân bố xác suất thu được bằng đánh giá độ không đảm bảo Loại B. Trong trường hợp này, mô hình quan trắc là chỉ về tập dữ liệu (i) trong Ví dụ 1a (9.2.2), đó là,

9.2.3.2  Lúc này có ba tham số được ấn định cho phân bố tiên nghiệm. Đối với tham số nền β, mật độ tiên nghiệm dựa vào thông tin nêu trong Lời giới thiệu, đó là,

β ~ Uniform (1,126; 1,329).

Đối với θ và σ_Y,

θ ~ Uniform (0, c), σ_Y ~ Uniform (0, c),

với giá trị lớn cho c.

Điều này hoàn thành các quy định kỹ thuật đối với phân bố tiên nghiệm.

9.2.3.3  Các dòng lệnh WinBUGS cho ví dụ này như dưới đây.

Với dữ liệu nêu trong Lời giới thiệu, các dòng lệnh này tạo ra trung bình hậu nghiệm cho θ là 2,309 và độ lệch chuẩn hậu nghiệm đối với θ là 0,232. Khoảng tin cậy 95 % đối với θ là (1,832 2,788). Phân tích độ nhạy của các kết quả lại được thỏa mãn.

9.2.4  Ví dụ 1c

9.2.4.1  Khác biệt duy nhất với Ví dụ 1b là ở các giá trị đo được thực tế (lúc này gần với nền) và có thể sử dụng cùng mô hình và các dòng lệnh WinBUGS. Lúc này, trung bình hậu nghiệm cho θ là 0,069, độ lệch chuẩn hậu nghiệm cho θ là 0,067 và khoảng tin cậy 95 % cho θ là (0,000 0,188). Các kết quả này là ổn định với các thay đổi giá trị của c với các giá trị tiên nghiệm đều. Thay đổi hình thức của mật độ tiên nghiệm σ_Y từ đều thành Gamma dẫn đến trung bình hậu nghiệm là 0,058, độ lệch chuẩn hậu nghiệm là 0,052 và khoảng tin cậy 95 % là (0,000 0,150). Đây là thay đổi lớn hơn trong các ví dụ trước và được chỉ ra ở đây vì độ gần của dữ liệu với nền, dữ liệu không hoàn toàn là có thông tin về đại lượng đo. Cỡ của σ_Y (kiểm soát ở mức độ nào đó bằng phân bố tiên nghiệm vì chỉ có năm giá trị đo được để làm cơ sở cho ước lượng) ảnh hưởng đến mức độ thông tin của dữ liệu. Trong trường hợp như vậy, giải pháp thận trọng là sử dụng khoảng tin cậy dài hơn dựa trên phân bố đều. Cách tốt hơn là thu được nhiều giá trị đo được hơn. Hệ quả sẽ là giảm ảnh hưởng của mật độ tiên nghiệm của σ_Y lên các kết quả. (Một thực tế thú vị về khoảng tin cậy Bayes như được nêu ở đây có thể tìm trong Tài liệu tham khảo [23]. Trong đó tác giả cho thấy rằng trong các mô hình như Ví dụ 1, khoảng tin cậy Bayes 95 % dựa trên phân bố tiên nghiệm đều có độ phủ tần suất gần với 95 %, trong khi khoảng dựa trên tiên nghiệm gamma thường có độ phủ tần suất thấp hơn.).

9.2.5  Tóm tắt các ví dụ

Ví dụ 1 a minh họa trường hợp giá trị đo được từ hai nguồn độc lập được sử dụng trong một đánh giá độ không đảm bảo. Ví dụ 1b thể hiện cách thức thông tin về nền được sử dụng để thực hiện đánh giá độ không đảm bảo Loại B có thể được đưa vào trong mô hình Bayes như thế nào. Ví dụ 1c minh họa sự dễ dàng mà một ràng buộc có thể được đưa vào mô hình Bayes, như ràng buộc tích cực ở đây với giá trị của đại lượng đo. Ví dụ cũng cho thấy việc lựa chọn phân bố tiên nghiệm thiếu thông tin có thể ảnh hưởng đến kết quả như thế nào.

10  Lập luận tin tưởng để đánh giá độ không đảm bảo

10.1  Phương pháp cơ bản

10.1.1  Đối với hàm đo (1), đánh giá độ không đảm bảo đối với đại lượng đo θ có thể dựa trên phân bố dựa vào sự tin tưởng đối với θ. Các ví dụ dưới đây minh họa cách thức để thu được phân bố dựa vào sự tin tưởng đối với các tham số quan tâm.

10.1.2  Giả định Y ~ N(θ,1), trong đó θ là đại lượng đo, quá trình đo có phương sai đã biết bằng 1 và Y là biến ngẫu nhiên biểu thị các giá trị có thể được quan trắc. Ta có thể diễn tả quan hệ giữa giá trị đo được và quá trình sai số thực nghiệm ngẫu nhiên cần quan tâm bằng công thức

trong đó E là sai số ngẫu nhiên với phân bố N(0,1). Mỗi giá trị đo được được gắn với một sai số thực nghiệm ngẫu nhiên cụ thể. Giả định thu được một giá trị đo được là 10. Sai số đo kèm theo được ký hiệu là e. Như vậy

10 = θ + e.

Do đó, θ = 10 - e. Nếu đã biết giá trị của e thì đại lượng đo sẽ được biết chính xác, nhưng giá trị của e là chưa biết. Tuy nhiên, thực tế là biết được phân bố từ đó e được tạo ra sẽ giúp xác định tập hợp giá trị của θ được coi là hợp lý. Ví dụ, giá trị θ = 2 hợp lý như thế nào với đại lượng đo? Để điều này là đúng, cần có e = 8. Giá trị 8 là khó có thể có được từ phân bố N(0,1). Do đó, kết luận là giá trị θ = 2 là không thể có. Khả năng θ nằm giữa 10 và 12 là như thế nào? Đối với θ giữa 10 và 12, e cần bằng từ 0 đến 2 và xác suất cho điều này là Ф(2) - Ф(0), trong đó Ф(z) là giá trị của phân bố Gauss chuẩn tích lũy tại z. Do đó, các xác suất gắn với E có thể được chuyển thành xác suất cho θ. Hiểu biết về θ, dựa trên giá trị đo được là 10, có thể được mô tả bằng phân bố của biến ngẫu nhiên  có phân bố được cho bằng phân bố của 10 - E. Tức là, ~ N(10,1) hoặc phân bố dựa vào sự tin tưởng cho θ (tức là, phân bố cho ) là N(0,1). Biến ngẫu nhiên  còn được gọi là đại lượng dựa vào sự tin tưởng (FQ) cho θ. FQ này được liên hệ với cái gọi là đại lượng then chốt tổng quát hóa ^{[24], [25]} hoặc đại lượng then chốt tổng quát hóa dựa vào sự tin tưởng ^{[26], [27]} trong tài liệu.

10.1.3  Trong ví dụ ở trên, giả định hai phép đo được thực hiện. Lấy Y₁ và Y₂ là biến ngẫu nhiên ký hiệu cho các giá trị có thể có thu được cho hai phép đo, được biểu thị là

Y₁ = θ + E₁,

Y₂ = θ + E₂.                                                      (20)

Giả định các giá trị đo được thực tế là 10 và 8. Khi đó, các công thức dưới đây liên hệ giá trị đo được, đại lượng đo và giá trị thể hiện của sai số thực nghiệm, là e₁ và e₂

10 = θ + e₁,

8 = θ + e₂.

Giá trị hợp lý cho θ được liên hệ với giá trị hợp lý của (e₁, e₂). Điều làm ví dụ này khác biệt với ví dụ trước là ở đây đã biết rằng e₁ - e₂ = 2. Vì vậy, tập hợp các giá trị có thể có cho (e₁, e₂) lúc này bị giới hạn bởi yêu cầu này. Biết rằng (e₁, e₂) là từ phân bố Gauss chuẩn hai chiều nhưng có ràng buộc là nằm trên đường e₁ - e₂ = 2. Vì vậy, xác suất có thể gắn cho θ là xác suất với 10 - e₁ hoặc 8 - e₂ biết rằng (e₁, e₂) là thể hiện từ phân bố Gauss chuẩn hai chiều với điều kiện bổ sung là e₁ - e₂ = 2. Do đó FQ được xác định là có phân bố có điều kiện với phân bố điều kiện của 10 - E₁ với E₁ - E₂ = 2. Đây chính là phân bố giống với phân bố có điều kiện của 8 - E₂ với E₁ - E₂ = 2. Tính toán đơn giản cho thấy rằng phân bố của  là N(, 1/2) trong đó  = (y₁ + y₂)/2 = (10 + 8)/2 = 9.

10.1.4  Tổng quát hơn, đối với n phép đo độc lập thực hiện từ N(θ, σ²),

Y₁ = θ + σ E₁,

Y₂ = θ + σ E₂,

…,

trong đó E₁, ..., E_n là độc lập, các biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn. Phân bố dựa vào sự tin tưởng đồng thời (θ, σ) có thể thu được như sau đây. Sử dụng hai phương trình cấu trúc đầu tiên (hoặc bất kỳ) trong số n công thức ở trên để giải cho θ hoặc σ, ký hiệu bằng  và , là hàm của y₁, y₂, E₁ và E₂. Phân bố dựa vào sự tin tưởng đồng thời (θ, σ) là phân bố đồng thời cho (,) điều kiện là E_i áp đặt bởi phần còn lại của công thức n - 2. Cụ thể, phân bố dựa vào sự tin tưởng cho θ là

gọi là phân bố t dịch chuyển và tỷ lệ với n - 1 bậc tự do. Do vậy, và s là giá trị thể hiện của trung bình mẫu  và độ lệch chuẩn mẫu S đối với n giá trị đo được, còn T_n-1 là biến ngẫu nhiên có phân bố t với n - 1 bậc tự do.

10.1.5  Có một phương pháp thay thế, đơn giản hơn là chỉ phác thảo để rút ra phân bố dựa vào sự tin tưởng cho θ ở (22). Phương pháp này sẽ được minh họa trong các ví dụ sau.

10.1.6  Lập luận ở trên có thể được tổng quát hóa và phân bố dựa vào sự tin tưởng có thể được xây dựng cho các tham số mô hình trong các vấn đề phạm vi rộng hơn. Điểm bắt đầu cho quá trình này được gọi là phương trình cấu trúc ^[28]. Ký hiệu phương trình cấu trúc này là Y = G(β,E). Đối với một phép đo, công thức (19) tạo thành phương trình cấu trúc. Đối với n phép đo, công thức (21) tạo thành các phương trình cấu trúc. Phương trình cấu trúc liên hệ các phép đo Y với tham số mô hình β và sai số quá trình E có phân bố đã biết. Ví dụ, đối với một phép đo, phân bố của E được biết đầy đủ. Đối với giá trị cố định bất kỳ của β, phân bố của E và phương trình cấu trúc G(·) xác định phân bố cho dữ liệu Y. Sau khi quan trắc dữ liệu Y, vai trò của dữ liệu và tham số có thể hoán đổi nhau. Cụ thể, giá trị của Y là cố định và phân bố của E, phương trình cấu trúc G(·) được sử dụng để suy ra phân bố cho β. Đó là những gì cấu thành nên lập luận dựa vào sự tin tưởng.

10.2  Ví dụ 1

10.2.1  Ví dụ 1a

10.2.1.1  Để minh họa, xét Ví dụ 1a mô tả ở Điều 7 trong đó đại lượng vật lý θ được ước lượng từ các giá trị đo được theo mô hình

trong đó ɛ_i là các sai số đo độc lập với ɛ_i ~ N(0,). Còn β đại diện cho nền và có thể được ước lượng từ các phép đo theo mô hình

trong đó δ_i là các sai số đo độc lập với δ_i ~ N(0, ). Giả định rằng ɛ_i và δ_i là độc lập. Từ (23) và (24) kéo theo  - có phân bố Gauss với trung bình θ và phương sai /n +/n_b, trong đó  và  là trung bình của Y_i và B_i, tương ứng và có thể biểu thị bằng

trong đó Z là biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn. Đây là phương trình cấu trúc  -  cho. Như vậy

và

trong đó (v) ký hiệu cho phân bố Khi-bình phương với v bậc tự do, và là phương sai mẫu của Y_i và B_i tương ứng. Do đó

là phương trình cấu trúc cho  và

là phương trình cấu trúc cho . Bằng việc giải ba phương trình cấu trúc ở trên cho θ, σ_r và σ_B, FQ cho θ thu được là

10.2.1.2  Khoảng dựa vào sự tin tưởng 1 - α đối với θ được cho bởi [ ), trong đó  là phân vị α của phân bố của . Các phân vị này có thể được xác định về mặt thống kê trong những tình huống đơn giản. Tuy nhiên, cách thuận tiện nhất là tính xấp xỉ bằng phép Monte Carlo. Cách tiếp cận này liên quan đến việc tạo ra một số lượng lớn các thể hiện từ phân bố của  và xác định các phân vị α/2 và 1 - α/2 thực nghiệm. Các phân vị này được sử dụng như các ước lượng cho và . Một thể hiện của  có thể được tạo ra như dưới đây.

a) Tạo ra thể hiện của biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn Z.

b) Tạo ra các thể hiện W_y và W_b của các biến ngẫu nhiên độc lập với n - 1 và n_b - 1 bậc tự do, tương ứng.

c) Tính như trong (28).

Đối với ví dụ này, n = n_b = 5,  = 3,537, s_y =0,342,  = 1,228 và s_b = 0,131. Chương trình R dùng cho tạo ra 500 000 thể hiện của  được cho dưới đây.

Trung bình của phân bố mô phỏng là

và khoảng dựa vào sự tin tưởng 95 % dựa trên các phân vị 0,025 và 0,975 của phân bố mô phỏng là

Tức là, khoảng dựa vào sự tin tưởng 95 % được cho bởi (1,858; 2,761).

10.2.2  Ví dụ 1b

10.2.2.1  Lúc này không có dữ liệu thống kê liên quan đến nền. Giả định rằng thông tin về β được quy định về phân bố xác suất cho β còn β và ɛ_i là độc lập. Ngoài ra, giả định phân bố xác suất cho β được biết đầy đủ, tức là, không liên quan đến tham số chưa biết bất kỳ nào.

10.2.2.2  Phương trình cấu trúc cho  được cho bởi

Cùng với phương trình cấu trúc cho  trong (26), ta thu được FQ cho θ là

Vì là biến ngẫu nhiên có phân bố t với n - 1 bậc tự do,

Một thể hiện của có thể được tạo ra như sau đây.

a) Tạo ra thể hiện của T_n-1 của biến ngẫu nhiên phân bố t student với n - 1 bậc tự do.

b) Tạo ra β theo phân bố của nó, độc lập với T_n-1.

c) Tính như trong (30).

Đối với ví dụ này, β được giả định có phân bố đều trong khoảng (1,126 1,329). 500 000 thể hiện của được tạo ra bằng

Trung bình của phân bố mô phỏng là

và khoảng dựa vào sự tin tưởng 95 % dựa trên các phân vị 0,025 và 0,975 của phân bố mô phỏng là

Tức là, khoảng dựa vào sự tin tưởng 95 % được cho bởi (1,872 2,746).

10.2.2.3  Khoảng dựa vào sự tin tưởng ở trên thống nhất với khoảng độ không đảm bảo thu được bằng cách sử dụng phương pháp đề xuất trong GUMS1.

10.2.3  Ví dụ 1c

10.2.3.1  Trường hợp của Ví dụ 1b áp dụng ngoại trừ  = 1,196 và s_y = 0,106. 500 000 thể hiện của được tạo ra bằng

Trung bình của phân bố mô phỏng là

giá trị này nằm ngoài khoảng tham số cho θ. Số thể hiện nằm ngoài khoảng tham số có thể tìm được bằng

Cách tiếp cận để xử lý ràng buộc tham số là cắt đuôi phân bố dựa vào sự tin tưởng đến khoảng tham số giới hạn. Đó là, sử dụng max(,0) để thu được thể hiện của phân bố dựa vào sự tin tưởng cho θ. Khoảng dựa vào sự tin tưởng 95 % được tính là

Tức là, khoảng dựa vào sự tin tưởng 95 % được cho bởi (0,000 0,136).

10.2.3.2  Phương pháp mô tả trong 10.2.1.1 và 10.2.2.2 có thể được tổng quát hóa thành mô hình thống kê tùy biến. Mô tả về việc thiết lập FQ được nêu trong Tài liệu tham khảo [29]. Phương pháp đơn giản hơn dùng cho các vấn đề phổ biến hơn trong đó có đủ các thống kê được nêu trong báo cáo kỹ thuật (Tài liệu tham khảo [30]) và được thảo luận thêm trong Tài liệu tham khảo [24] và [25]. Ở đây nhắc lại cho đảm bảo tính đầy đủ. Phương pháp bao gồm các bước sau:

a) Biểu thị từng thống kê đủ như hàm của một hoặc nhiều tham số và biến ngẫu nhiên có phân bố được biết đầy đủ, không có tham số nào chưa biết. Đó là, thu được phương trình cấu trúc cho mỗi thống kê đủ.

b) Trong từng phương trình cấu trúc, biểu thị mỗi tham số như hàm của thống kê đủ và biến ngẫu nhiên có phân bố đã biết hoàn toàn.

c) Thu được FQ cho từng tham số bằng cách thay thế các thống kê đủ bằng các giá trị quan trắc được tương ứng của chúng.

11  Ví dụ 2: hiệu chuẩn can mẫu

11.1  Khái quát

11.1.1  Ví dụ này, được lấy từ Phụ lục H.1 của GUM, liên quan đến việc xác định độ dài của can mẫu bằng cách so sánh với can mẫu giống hệt về danh nghĩa đã được hiệu chuẩn trước đó. Ký hiệu sử dụng trong GUM được tuân thủ chặt chẽ tuy nhiên đã được sửa đổi khi cần cho thống nhất với quy ước ký hiệu trong Điều 4 để phân biệt đại lượng đo với giá trị đo được. Bảng 2 liệt kê các đại lượng vật lý được sử dụng.

11.1.2  Sử dụng ký hiệu nêu trong Bảng 3 và dựa trên

- dòng thứ nhất của Công thức (H.2) trong GUM,

- quan hệ giữa α = α_s + δ_α và xác định trong H.1.2, và

- suy luận rút ra từ định luật lan truyền độ không đảm bảo trong H.1.3.2 và H.1.3.4 của GUM.

11.1.3  Mô hình đo cho λ sử dụng trong phân tích GUM về ví dụ H.1 có thể được biểu thị bằng

Công thức (31) là mô hình đo như được mô tả trong H.1.1 và dòng thứ nhất của Công thức (H.2) của GUM, chứ không phải phép xấp xỉ thực hiện đối với dòng thứ hai của Công thức (H.2) và sau đó được sử dụng trong suốt phần còn lại của H.1.

Bảng 3 - Ký hiệu dùng cho phân tích Ví dụ H.1 của GUM trong từng cách tiếp cận trong số ba cách tiếp cận thống kê. Biến ngẫu nhiên tương ứng với  được ký hiệu là và giá trị quan trắc ký hiệu là

11.1.4  Công thức (31) còn được biểu thị về mặt đại lượng vật lý dùng để xác định độ dài của can mẫu chứ không phải tổng hợp trước các ảnh hưởng do chênh lệch độ dài của hai can mẫu và chênh lệch nhiệt độ của bệ thử. Thực hành tốt là biểu thị mô hình đo theo tất cả các đại lượng cần thiết để xác định nó. Thực hành này giúp giảm thiểu sai lỗi có thể có khi xác định mối tương quan giữa các đại lượng vật lý khác nhau, ví dụ như θ và θ_s, α và α_s, như đề cập trong H.1.2, với giá trị cuối cùng có thể dựa trên cùng một dữ liệu.

11.1.5  Bảng 4 tóm tắt phần thông tin còn lại lấy từ phân tích Ví dụ H.1 của GUM cần thiết cho phân tích bằng các cách tiếp cận thống kê khác nhau được thảo luận và so sánh trong phần còn lại của điều này.

11.1.6  Mô tả ví dụ trong GUM chỉ ra rằng chỉ có một đại lượng, δ_λ, có giá trị được ước lượng bằng cách sử dụng phân tích dữ liệu thống kê. Phân bổ của trung bình các giá trị đo được, đưa ra ước lượng của δ_λ, được lấy là Gauss (chuẩn) với giá trị kỳ vọng phụ thuộc vào độ dài của can mẫu và các đại lượng vật lý khác mô tả trong Bảng 3 và Bảng 4.

11.1.7  Giá trị và độ không đảm bảo chuẩn gắn với các ước lượng của tất cả các đại lượng khác thu được bằng đánh giá Loại B. Tuy nhiên, do các đại lượng δ_α và δ_θ theo phân bố chữ nhật chứ không phải Gauss, nên không có phương pháp thống kê được thừa nhận rộng rãi nào để giải thích cho bậc tự do trong hai trường hợp này. Kết quả là, bậc tự do đã cho sẽ không được sử dụng cho các đại lượng này.

Bảng 4 - Tổng hợp thông tin từ phân tích Ví dụ H.1 của GUM cần thiết cho tái phân tích

11.2  Cách tiếp cận tần suất

11.2.1  Trong ví dụ này, hệ số độ nhạy triệt tiêu và số hạng thứ hai được đưa vào Công thức (6) và (7) mặc dù chỉ một trong hai là khác 0 đáng kể (GUM, p71).

11.2.1  Giá trị y = 50 000 838 nm của đại lượng đo, gọi là, độ dài của can mẫu được hiệu chuẩn, và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo u(y) = 34 nm được trả lại bằng đánh giá trong GUM sử dụng số hạng cấp hai. Như đã đề cập ở 8.1.12, độ không đảm bảo gắn với các ước lượng này được tính xấp xỉ bằng sai số bậc hai cận biên nếu các tham số λ, θ_s được lấy xấp xỉ theo các phân bố chuẩn, còn λ_s, θ_s và δ_θ được lấy tích phân theo phân bố đều của chúng.

11.2.2  Các kết quả này được khẳng định bằng lan truyền phân bố áp dụng bởi phương pháp Monte Carlo như trong GUMS1, đưa ra một đáp án rất sát. Ngoài ra, phép xấp xỉ bằng phân bố t (10) có vẻ là hợp lý. Hình 1 thể hiện phân vị thực nghiệm vẽ theo phân vị phân bố t khi bậc tự do được ước lượng theo công thức (8). Các kết quả khác từ phương pháp Monte Carlo được báo cáo trong Tài liệu tham khảo [31].

Hình 1 - Phân vị thực nghiệm với phân vị phân bố t trong Ví dụ 2

11.2.3  Thiết lập khoảng bootstrap cho ví dụ này, λ được ước lượng là 50 000 838 nm với độ không đảm bảo chuẩn đồng thời u = 31,7 nm,. Từ công thức (13), khoảng tin cậy bootstrap-t 100(1 - α) % là (50000 838-·31,7  50000838+·31,7), trong đó là phân vị thứ 100β của W* của (12). Các dòng lệnh R dùng để tạo B = 10 000 thể hiện của W* như dưới đây.

Hàm R delta được xác định như dưới đây.

Hàm này chấp nhận biểu thức R hợp lý meq, hàm đo, có tên tham số được cho là namevec, và ma trận giá trị đầu vào x, một cột của x chứa các giá trị lặp bootstrap cho mỗi đại lượng trong meq. Hàm sử dụng hàm R deriv để đánh giá hàm đo và thu được đạo hàm bậc 1 c (“gradient” của meq tại x) đối với tất cả các tham số trong namevec đánh giá tại giá trị đầu vào cho bởi x. Cuối cùng, hàm trả lại biểu thức đánh giá (y) và độ không đảm bảo gắn với tính được sử dụng phép xấp xỉ Taylor bậc nhất thông thường. Trong các lệnh bootstrap ở trên, hàm delta được áp dụng cho hàm đo xác định là f trong các lệnh.

Khoảng tin cậy bootstrap-t 95 % dựa trên các phân vị 0,025 và 0,975 của phân bố mô phỏng là

Khoảng này, (50000777 50000899) nm, hầu như ngắn hơn 10 % so với khoảng thu được bằng việc áp dụng GUM. Biểu hiện chung này, độ rộng của khoảng bootstrap ngắn hơn của khoảng rút ra từ đánh giá độ không đảm bảo dựa trên phép xấp xỉ Taylor bậc nhất, được thảo luận thêm trong Tài liệu tham khảo [32].

11.3  Cách tiếp cận Bayes

11.3.1  Mô hình quan trắc liên hệ dữ liệu với các tham số có thể được quy định.

11.3.2  GUM có thể được giải thích là nêu rõ rằng giá trị kỳ vọng E(D_λ) của phép đo bằng δ_λ, trong đó

Giá trị kỳ vọng của phép đo là hàm của véctơ tham số γ = (λ,, Δ, δ_α, α_s, δ_θ) và đại lượng đo λ. GUM đưa ra hai thành phần bổ sung của độ không đảm bảo bao gồm hàm so sánh xác định bằng đánh giá Loại B. Do đó, có độ không đảm bảo về giá trị kỳ vọng của phép đo khác nhau bằng δ_λ. Tương tự với GUM, hai thành phần này có thể cộng lại để có được độ không đảm bảo là 7,8 nm, với 12 bậc tự do sử dụng công thức Welch-Satterthwaite. Mô hình thống kê hai bước dưới đây kết hợp các thông tin sẵn có:

11.3.3  Cho trong ví dụ là độ không đảm bảo gắn với chênh lệch đo được thu được bằng đánh giá Loại A, cung cấp ước lượng của. Từ lý thuyết xác suất cơ bản, đối với mẫu cỡ n từ phân bố Gauss có phương sai đã biết σ²,

Vì cũng là mật độ Gamma (,),

11.3.4  Có 8 tham số trong mô hình thống kê, bao gồm đại lượng đo λ. Để tìm phân bố hậu nghiệm cho λ, trước tiên phân bố tiên nghiệm đồng thời của 8 tham số được quy định. Theo lý thuyết, các biến ngẫu nhiên này có thể được coi là độc lập và vì vậy phân bố đồng thời của chúng là tích các phân bố tiên nghiệm riêng lẻ. Đối với các thành phần của véctơ tham số γ, thông tin sử dụng để thực hiện đánh giá độ không đảm bảo Loại B có thể được hiểu là mật độ tiên nghiệm thông tin như sau:

δ_α ~ Uniform (-1 x 10^-6, 1 x 10^-6),

 ~ N(-0,1, 0,1681),

Δ ~ Beta(0,5, 0,5) -0,5,

α_s ~ Uniform (9,5 x 10^-6, 13,5 x 10^-6),

δ_θ ~ Uniform (-0,05, 0,05).

Vì vậy, phân bố tiên nghiệm đồng thời là

Phân bố tiên nghiệm của đại lượng đo λ và là cần thiết để hoàn thiện quy định trước. Trong ví dụ này, không có thông tin thêm về hai tham số này ngoài việc chúng không âm. Như trong Ví dụ 1, các tham số được ấn định là tiên nghiệm tham chiếu ^[20]. Đối với λ, mật độ tham chiếu xấp xỉ là

hoặc Gamma(c, c). Điều này hoàn thành quy định phân bố tiên nghiệm.

Lưu ý là hai phân bố tiên nghiệm tham chiếu, mà phân tích độ nhạy chỉ ra là có ít tác động đến kết quả, là phân bố duy nhất không sử dụng theo một cách thức nhất định bằng cách tiếp cận tần suất hoặc cách tiếp cận dựa vào sự tin tưởng.

11.3.5  Áp dụng định lý Bayes dẫn đến mật độ hậu nghiệm đồng thời dưới đây của []:

Khi đó, mật độ hậu nghiệm của λ thu được bằng cách lấy tích phân là

Phân bố hậu nghiệm này tổng hợp tất cả thông tin về λ có sẵn thu được sau các phép đo. Các dòng lệnh WinBUGS cho ví dụ này như sau:

Đối với = 215 và s_Y = 13, dòng lệnh WinBUGS này thu được trung bình hậu nghiệm của λ là 50 000 837 nm, với độ lệch chuẩn hậu nghiệm là 34 nm. Khoảng tin cậy 95 % là (50 000 768 nm 50 000 908 nm). Các kết quả này hầu như giống với trong GUM.

11.3.6  Trong lời giải ở đây, mô hình đo đối với λ, tức là công thức (31), không bao giờ được sử dụng, vì vậy tránh được công việc khó khăn và không cần thiết là xác định các phân bố của các tham số khác nhau có liên quan như thế nào. Như trong Ví dụ 1 với hai tham số, cách tiếp cận nêu ở đây dẫn đến phân bố hậu nghiệm đồng thời thích hợp cho cả 8 tham số.

11.3.7  Xét lời giải gần đúng cho ví dụ này dựa trên phép xấp xỉ bằng chuỗi Taylor, trong cách giải của GUM, công thức (31) được tính xấp xỉ là

Định nghĩa tham số η = λ - δ_λ. Sử dụng phép xấp xỉ chuỗi Taylor, mật độ xác suất của η có thể được tính xấp xỉ bằng Gauss là ~ 77(50 000 623 nm, 911 nm²). Để đơn giản, cũng tính xấp xỉ bằng . Khi đó, mô hình thống kê trở thành

Đối với mô hình này, mật độ hậu nghiệm của λ có thể thu được theo phân tích ^[33]. Ta có được

Vì  = 215 nm, ta có trung bình hậu nghiệm của λ là 50 000 838 nm với độ lệch chuẩn hậu nghiệm 31 nm, giá trị này cũng gần với giá trị trong GUM.

11.4  Cách tiếp cận dựa vào sự tin tưởng

11.4.1  Ví dụ này được dùng để minh họa cách tiếp cận lập luận tin tưởng trong một ứng dụng phức tạp hơn. Hàm đo được cho trong (31). Dựa trên thông tin cung cấp trong GUM, các giả định sau được đưa ra:

a) giá trị ước lượng của λ_s (tức là giá trị cho trong giấy chứng nhận hiệu chuẩn), ký hiệu là l_s, bằng 50 000 623 nm. Độ không đảm bảo chuẩn kèm theo ước lượng là 25 nm với 18 bậc tự do. Với giả định tính chuẩn, đại lượng dựa vào sự tin tưởng (FQ) cho λ_s là

Biểu thức (37) thu được từ phân bố (22) với = 50 000 623 nm, u() = 25 nm và 18 bậc tư do đi kèm với u().

b) Mỗi giá trị lặp đo được được coi là rút ra từ phân bố chuẩn có trung bình δ_λ và độ lệch chuẩn . Trung bình quan trắc được của năm giá trị đo được là  = 215 nm. Từ thực nghiệm riêng, được ước lượng là 13 nm với 24 bậc tự do. Do đó, u() = . Vì vậy, FQ cho δ_λ là

Cũng dựa trên giấy chứng nhận hiệu chuẩn cho thiết bị so sánh, ước lượng của bằng 0 với độ không đảm bảo 3,9 nm (5 bậc tự do) và ước lượng của  bằng 0 với độ không đảm bảo 6,7 nm (8 bậc tự do). Ngoài ra, sai số so sánh có thể giả định là độc lập với sai số lặp. Do đó,

Sự không phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến ngẫu nhiên là kết quả của giả định GUM về quá trình đo.

c) Lấy  là sai lệch giữa nhiệt độ trung bình của bệ thử với giá trị danh nghĩa 20 °C. Ước lượng của  là -0,1 °C với độ lệch chuẩn 0,2 °C. Vì GUM không đưa thêm thông tin liên quan đến độ lệch chuẩn này nên bậc tự do vô hạn được giả định và  cũng được rút ra từ phân bố Gauss. Do đó

trong đó Z là mẫu lấy từ biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn, độc lập với tất cả các biến ngẫu nhiên khác.

d) FQ cho Δ có hàm mật độ xác suất cho bởi

Để lấy ngẫu nhiên từ phân bố arcsin (42), quan trắc thấy nếu U₁ là biến ngẫu nhiên Uniform (0,1), -cos(πU₁)/2 có phân bố arcsin như yêu cầu. Vì vậy, FQ cho Δ có thể được lấy là

e) FQ cho δ_α là

trong đó U₂ là biến ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng ±1 x 10^-6 °C^-1.

f) FQ cho cho  là

trong đó U₃ là biến ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng ±0,05 °C

g) FQ cho cho α_s là

trong đó U₄ là biến ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng ±2 x 10-6 °C^-1.

11.4.2  Thay thế các đại lượng dựa vào sự tin tưởng trong các biểu thức từ (37) đến (46) vào biểu thức (31), thu được đại lượng dựa vào sự tin tưởng cho λ. Tính xấp xỉ phân bố chođược cung cấp bằng cách sử dụng 500 000 phép thử Monte Carlo. Trung bình và độ lệch chuẩn của phân bố xấp xỉ này tương ứng là 50 000 838 nm và 35 nm. Khoảng dựa vào sự tin tưởng 95 % cho λ được cho bởi các phân vị 0,025 và 0,975 của phân bố này, tức là (50 000 768 nm 50 000 907nm). Các dòng lệnh R để tạo ra 500 000 thể hiện củanhư dưới đây.

12  Thảo luận

12.1  So sánh các đánh giá độ không đảm bảo sử dụng ba cách tiếp cận thống kê

12.1.1  Bảng 4 tổng hợp các kết quả trong Ví dụ 1. Lời giải bootstrap tần suất, Bayes và dựa vào sự tin tưởng cho Ví dụ 1a và Ví dụ 1b cũng rất giống như vậy. Lời giải bootstrap và GUM tạo ra các khoảng ngắn hơn một chút trong cả Ví dụ 1a và Ví dụ 1b. Có khác biệt đáng kể hơn trong cách giải ở Ví dụ 1c. Ở đây lời giải Bayes dựa trên mật độ tiên nghiệm đều tạo ra khoảng dài hơn đáng kể so với hầu hết các phương pháp khác; chỉ có khoảng Eisenhart bảo toàn là rộng hơn.

Bảng 4 - Khoảng độ không đảm bảo mở rộng cho ba cách tiếp cận thống kê ở Ví dụ 1

Hình 2 - So sánh các mật độ xấp xỉ Bayes và dựa vào sự tin tưởng đối với Ví dụ 1a và 1c

12.1.2  Vì cách tiếp cận Bayes và cách tiếp cận dựa vào sự tin tưởng tạo ra các phân bố xác suất cho đại lượng đo, θ, kết quả của chúng ở Ví dụ 1a và Ví dụ 1c được so sánh thêm trong Hình 1, bên cạnh so sánh khoảng độ không đảm bảo mở rộng ở Bảng 4. Kết quả ở Ví dụ 1b không được thể hiện vì không thể phân biệt bằng mắt thường với các kết quả ở Ví dụ 1a. Từ biểu đồ ở Hình 2, thấy rõ là phân bố xác suất hậu nghiệm Bayes cho θ và phân bố dựa vào sự tin tưởng cho θ là giống nhau khi tín hiệu vượt quá mức nền đáng kể. Tuy nhiên, khi tín hiệu gần với nền, hai phân bố có đặc trưng rất khác biệt do các phương pháp khác nhau trong kết hợp các ràng buộc vật lý vốn có của vấn đề.

12.1.3  Trong bối cảnh tần suất, đại lượng đo θ và đại lượng đầu vào µ₁,..., µ_p trong mô hình đo (1) đều được giả định là hằng số cố định chưa biết. Cách tiếp cận này có vẻ hoàn toàn hợp lý nếu đại lượng đo đại diện cho hằng số vật lý và các nghiên cứu trước đó không đưa ra phân bố tiên nghiệm (tham khảo) hoặc phương trình cấu trúc thích hợp cho nó. Phương pháp tần suất được ưa chuộng bởi các nhà thống kê là những người không tin rằng tất cả các tham số phải được mô hình như biến ngẫu nhiên, mặc dù phương pháp này thường xử lý độ không đảm bảo thu được bằng phương pháp đánh giá Loại B bằng cách ấn định cho chúng một phân bố xác suất và lấy tích phân theo phân bố này. Về mặt này, tương tự như cách tiếp cận Bayes, trong đó tất cả các tham số được đặc trưng bởi phân bố xác suất nhưng cần ít giả định về phân bố hơn.

12.1.4  Bootstrap là phương pháp thống kê được thiết lập tốt có thể thay thế các khoảng tin cậy gần đúng phức tạp và thường không chính xác bằng các mô phỏng máy tính. Có nhiều chương trình bootstrap khác nhau được phát triển để thiết lập khoảng tin cậy trong các điều kiện khác nhau. Khoảng bootstrap-t tham số giới thiệu trong tiêu chuẩn này là lựa chọn tự nhiên như một cải tiến cho khoảng student-t của GUM. Ưu điểm của bootstrap là tính đơn giản - rất dễ dàng áp dụng bootstrap để rút ra khoảng tin cậy như chứng minh trong các ví dụ.

12.1.5  Các ví dụ cho thấy rằng đánh giá độ không đảm bảo Bayes sử dụng mô hình thống kê là đơn giản về mặt khái niệm và có thể áp dụng cho các vấn đề đo phức tạp mà không làm thay đổi gì tới phương pháp cơ bản. Những ảnh hưởng hệ thống không thể ước lượng từ các giá trị đo được (tức là, không có hàm của các quan trắc có giá trị kỳ vọng bằng với ảnh hưởng hệ thống) và đối với chúng, thông tin được sử dụng để thực hiện đánh giá độ không đảm bảo loại B có thể dễ dàng đưa vào mô hình Bayes. Việc tính toán phân bố hậu nghiệm có thể được thực hiện bằng cách sử dụng phương pháp MCMC, thường sử dụng các phần mềm hiện có. Như đã thấy, không cần có các đối số tiệm cận để chứng minh công bố xác suất vì các mẫu nhỏ và lớn có chung một lý giải xác suất.

12.1.6  Có một số nhược điểm của phương pháp Bayes được mô tả ở đây. Quan trọng nhất, để sử dụng chúng các phân bố tiên nghiệm được quy định cho tất cả các tham số trong mô hình đo, bao gồm cả đại lượng đo. Mặc dù trong đo lường phân bố tiên nghiệm tham chiếu thường có sẵn dưới dạng đánh giá độ không đảm bảo Loại B, thường là trường hợp một hoặc hai tham số sẽ cần được ấn định phân bố tiên nghiệm không rõ ràng (phi thông tin) vì thiếu hiểu biết trước. Phân bố như vậy không phải là duy nhất và, như chứng minh trong Ví dụ 1c, chúng có thể ảnh hưởng đến kết quả. Do vậy, nên thực hiện phân tích độ nhạy để đánh giá mức độ lớn của các ảnh hưởng này. Ảnh hưởng lớn nảy sinh từ quy định về phân bố tiên nghiệm phi thông tin đòi hỏi nghiên cứu thêm về hệ thống đo. Nói chung, sự có mặt của những ảnh hưởng này có nghĩa là không có sẵn thông tin đầy đủ về đại lượng đo trong dữ liệu và do đó phân bố tiên nghiệm có ảnh hưởng đáng kể đến kết quả. Trong một số trường hợp, vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách tăng số lượng giá trị đo lặp, hoặc thay đổi cách thức thu thập dữ liệu, ví dụ bằng cách cải thiện giải pháp. Trong các tình huống khác, có thể là mô hình toán học được sử dụng có quá nhiều tham số mà không biết thông tin thực trước đó về chúng, do đó mô hình cần được đơn giản hóa.

12.1.7  Khi có thông tin tiên nghiệm quan trọng về đại lượng đo, có thể đưa vào một cách đơn giản và cập nhật hiệu quả thông qua định lý Bayes. Ngoài ra, độ nhạy với dạng tiên nghiệm, không chỉ đối với đại lượng đo mà còn với độ lệch chuẩn của hàm hợp lý, có thể là một chỉ thị tốt là có vấn đề với hệ thống đo. Khi đó, điều này có thể được nghiên cứu và hiệu chính.

12.1.8  Lập luận tin tưởng cung cấp khuôn khổ cho việc kết hợp phân bố với tham số quan tâm. Các kết quả nghiên cứu gần đây ^[26] cho thấy lập luận tin tưởng là phương pháp thống kê hợp lệ với các đặc trưng hoạt động tốt nói chung. Ví dụ được sử dụng đã chứng minh rằng cách tiếp cận tin cậy có thể kết hợp dễ dàng và tự nhiên thông tin về độ không đảm bảo vào mô hình đo, và thu được ước lượng của đại lượng đo, độ lệch chuẩn kèm theo của nó bằng cách lan truyền các phân bố thống kê thành phần.

Trong cách tiếp cận dựa vào sự tin tưởng không có nhu cầu lan truyền độ không đảm bảo dựa trên khai triển chuỗi Taylor hoặc phép xấp xỉ Welch-Satterthwaite.

12.1.9  Có một vấn đề về tính phi đơn nhất trong phân bố dựa vào sự tin tưởng do việc lựa chọn dạng cụ thể của phương trình cấu trúc. Tuy nhiên, điều quan trọng cần lưu ý là trong nhiều ứng dụng thực tế, quá trình vật lý nhờ đó dữ liệu được tạo ra là đã biết. Trong trường hợp này, phương trình cấu trúc cần được chọn để phản ánh quá trình này, từ đó loại trừ được vấn đề phi-đơn nhất. Trong đo lường, khi một đại lượng đo chưa biết được đo bằng một quá trình đã biết nào đó, ta biết rằng sai số ngẫu nhiên ảnh hưởng đến phép đo theo một cách thức cụ thể. Các giá trị kết quả đo được được biểu thị trong mối quan hệ với mô hình đo kết hợp các đại lượng đo được và sai số ở dạng các đại lượng ảnh hưởng. Mô hình này có thể được lấy làm phương trình cấu trúc.

12.2  Quan hệ giữa các phương pháp đề xuất trong GUM phần bổ sung 1 (GUMS1) và ba cách tiếp cận thống kê

12.2.1  GUMS1^[3] tạo ra các mẫu lấy ngẫu nhiên từ phân bố xác suất cho đại lượng đầu ra Y trong mô hình đo “mô tả hiểu biết về đại lượng đó, dựa trên kiến thức về đại lượng đầu vào, như mô tả bởi các PDF ấn định cho chúng" (trang vii của Tài liệu tham khảo [3]). Trong cùng trang, GUMS1 nêu rõ "PDF đối với đại lượng không được hiểu là mật độ tần suất”. Cuối cùng, trong trang 7, GUMS1 định nghĩa đại lượng đầu ra Y là đại lượng đo. Do đó, kết quả của phân tích GUMS1, ví dụ như trung bình và độ lệch chuẩn của lấy mẫu Monte Carlo, là các ước lượng đặc trưng của mật độ xác suất cho đại lượng đo đó. Theo đó, so sánh trực tiếp giữa kết quả từ GUMS1 và từ phương pháp dựa vào sự tin tưởng cũng như phương pháp Bayes truyền thống, nếu có thể. Khoảng độ không đảm bảo GUMS1 có thể được nghiên cứu về thuộc tính phủ tần suất nhưng không nên giải thích là khoảng tin cậy tần suất thông thường.

12.2.2  Như chỉ ra trong 9.1.1 và 9.1.2, các phương pháp Bayes truyền thống dựa trên mô hình thống kê bao gồm hiểu biết trước đó về đại lượng đo. Công bố này không thực sự của GUMS1 vì phương pháp này dựa trên mô hình đo, trong đó đại lượng đo là đại lượng đầu ra. (Điều này cũng được nêu ở trang 2 và trang 8 của Tài liệu tham khảo [3]). Do đó, mọi so sánh trực tiếp các kết quả từ phương pháp Bayes truyền thống với phương pháp của GUMS1 đều giới hạn ở trường hợp không có hiểu biết trước đó về đại lượng đo.

12.2.3  Tài liệu tham khảo [34] trình bày so sánh đối với một vấn đề đo có thể áp dụng được cụ thể nhưng rộng rãi. Trong tài liệu này, đại lượng đo µ là hàm của α và β, tức là, mô hình đo là µ = f(α,β). Tham số α có thể được ước lượng từ dữ liệu vì nó là trung bình của biến ngẫu nhiên Gauss X, biến có một tập hợp các dữ liệu quan trắc. Không có sẵn dữ liệu để ước lượng tham số β nhưng phân bố tin cậy đã cho. Phân tích GUMS1 (xem 6.4.9.2 của Tài liệu tham khảo [3]) ấn định phân bố student-t lấy tỷ lệ và dịch chuyển cho α rồi sau đó lan truyền các phân bố cho α và β bằng cách sử dụng hàm f. Trong tài liệu tham khảo [34] cho thấy rằng phân tích này tương đương với tính toán Bayes của mật độ xác suất cho hàm f(α,β), trong đó hai tham số được lấy là độc lập, hàm hợp lý cho X là Gauss với trung bình α, phân bố tiên nghiệm đều không phù hợp được sử dụng cho α, và mật độ cho β được cho bằng phân bố tin cậy. Chú ý là mật độ tiên nghiệm cho µ không được sử dụng ở đây.

12.2.4  Lúc này giả định rằng tồn tại hàm g sao cho α = g(µ,β). Phân tích Bayes truyền thống sử dụng hàm hợp lý Gauss cho X với trung bình g(µ,β) và phân bố tiên nghiệm cho µ và β. Trường hợp không có thêm thông tin về đại lượng đo, phân bố đều không phù hợp có thể được sử dụng cho µ nhưng cũng có những lựa chọn khác. Phân bố tin cậy của β là lựa chọn tự nhiên cho phân bố tiên nghiệm. Thông thường, µ và β có thể được lấy là các biến ngẫu nhiên độc lập. Lưu ý là đối với mô hình này, mật độ tiên nghiệm cho α không được sử dụng.

12.2.5  GUMS1 và phân tích Bayes truyền thống sử dụng các tham số hóa khác nhau của cùng một mô hình thống kê. Sự không biết về đại lượng đo được biểu thị khác nhau trong mỗi phép tham số hóa. Mô hình sử dụng bởi GUMS1 không thực hiện trực tiếp việc này bằng mật độ cho µ mà thay vào đó sử dụng phân bố tiên nghiệm phi thông tin, không đúng cho α. Như chỉ ra trong Tài liệu tham khảo [34], đây là một giả định khác biệt. Phân tích Bayes truyền thống thường sử dụng phân bố tiên nghiệm phi thông tin cho bản thân đại lượng đo µ. Tài liệu tham khảo [34] cho thấy rằng hai phân tích đưa ra các phân bố xác suất giống nhau cho đại lượng đo khi phân bố tiên nghiệm đều không đúng cho µ được sử dụng trong phân tích Bayes, và hàm f là tuyến tính. Đối với hàm phi tuyến tính, phân bố xác suất cho µ rút ra trong hai phép tham số hóa là không giống nhau. Điều quan trọng là lưu ý rằng nếu phân bố tiên nghiệm phi thông tin cho α được chuyển thành phân bố tiên nghiệm cho µ thì khi đó phân tích Bayes truyền thống tương ứng cho cùng kết quả như GUMS1 đối với hàm bất kỳ.

12.2.6  Như đã nêu ở trên, dựa vào mô hình đo, GUMS1 thu được PDF cho đại lượng đo bằng cách lan truyền PDF cho đại lượng đầu vào. PDF thu được mô tả hiểu biết về đại lượng đo với điều kiện dữ liệu quan trắc được và các giả định đưa ra khi ấn định PDF chung cho đầu vào. Trong nhiều mô hình tiêu chuẩn với giá trị đo được được coi là lấy từ phân bố chuẩn một chiều, khoảng độ không đảm bảo thu được bằng cách sử dụng GUMS1 và phương pháp dựa vào sự tin tưởng rất giống nhau, nếu không nói là giống hệt. Trở lại mô hình đo trong Ví dụ 1a, đó là

θ = γ - β

với Y_i ~ N(γ,,), i = 1, ...,5 và B_j ~ N(β,,), j = 1,…, 5. Dựa vào hướng dẫn trong GUMS1, phân bố t tỷ lệ và dịch chuyển được ấn định là PDF cho γ và PDF cho β. Đặc biệt, PDF cho γ có cùng phân bố với biến ngẫu nhiên

trong đó T₄⁽¹⁾ là biến ngẫu nhiên Student-t với 4 bậc tự do, và PDF cho β có cùng phân bố với biến ngẫu nhiên

trong đó T₄⁽²⁾ là biến ngẫu nhiên Student-t với 4 bậc tự do độc lập với T₄⁽¹⁾. Kết quả là, PDF cho đại lượng đo θ có thể thu được từ phân bố của

Dòng lệnh R dùng để tạo ra 500 000 thể hiện của phân bố ở trên được cho dưới đây.

Khoảng độ không đảm bảo 95 % dựa trên các phân vị 0,025 và 0,975 của PDF gần đúng là

về cơ bản giống với khoảng dựa vào sự tin tưởng đối với ví dụ này đã nêu trước đây. Tương tự, cách tiếp cận GUMS1 và cách tiếp cận dựa vào sự tin tưởng tạo ra cùng khoảng độ không đảm bảo cho các vấn đề trong Ví dụ 1b và Ví dụ 1c.

12.2.7  Trong nhiều trường hợp khác, phương pháp GUMS1 và dựa vào sự tin tưởng tạo ra các kết quả khác nhau. Trường hợp “cực trị” có thể thấy trong vấn đề mô tả ở Tài liệu tham khảo [35]. Trong ví dụ trình bày ở Tài liệu tham khảo [35], đại lượng đo là độ lớn của đại lượng giá trị phức.

Tức là, đại lượng đo là

Giả định X₁ ~ N(, σ²) và X₂ ~ N(.σ²) với σ đã biết, GUMS1 ấn định N(x₁, σ²) cho PDF đối với  và N(x₂, σ²) cho PDF đối với . Kết quả là PDF cho dựa trên GUMS1 là phân bố của biến ngẫu nhiên

tròng đó Z₁ và Z₂ là biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa độc lập. Tài liệu tham khảo [35] cho thấy rằng khoảng GUMS1 cho  có hiệu năng tần suất không thỏa mãn (xác suất phủ không đủ) khi in nhỏ so với σ. Điều này là vì biến ngẫu nhiên trong biểu thức (43) dương và do đó ranh giới dưới của khoảng độ không đảm bảo chocũng sẽ dương, có thể không phủ khitiến đến 0.

12.2.8  Lời giải dựa vào sự tin tưởng đối với bài toán có thể rút ra dựa trên thực tế là /σ² được phân bố không trung tâm với 2 bậc tự do và tham số không trung tâm . Tính chất phân bố này có thể được sử dụng để xây dựng phương trình cấu trúc liên hệ thống kê có thể quan trắc /σ² với λ, trong đó chứa tham số quan tâm. Dựa vào phương trình cấu trúc này, khoảng dựa vào sự tin tưởng chocó thể được xây dựng. Tài liệu tham khảo [36] chỉ ra rằng khoảng dựa vào sự tin tưởng duy trì độ phủ tần suất danh nghĩa trong mọi trường hợp.

13  Tổng kết

13.1  Trong tiêu chuẩn này thảo luận ba cách tiếp cận để thiết lập khoảng độ không đảm bảo có giải thích rõ ràng về mặt xác suất. Ngược lại, nhiều công việc khác trong lĩnh vực này tập trung vào đánh giá các tính chất thống kê của các quy trình hiện được sử dụng phổ biến trong cộng đồng đo lường. Một trong những mục tiêu trong việc tiếp cận nghiên cứu các phương pháp đánh giá độ không đảm bảo từ ưu điểm này là cố gắng để hiểu rõ hơn về các phương pháp hiện tại và nhấn mạnh những lựa chọn mới cũng có thể hữu ích.

13.2  Như đề cập trong Tài liệu tham khảo [9], khoảng độ không đảm bảo thu được theo các cách tiếp cận khác nhau sẽ thường giống nhau về số. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp đó thì việc giải thích cũng khác nhau.

13.3  Khoảng độ không đảm bảo tần suất đưa ra công bố xác suất về hiệu năng lâu dài của quy trình cụ thể để thiết lập khoảng độ không đảm bảo trong quá trình sử dụng lặp lại ở các điều kiện giống nhau. Do đó, công bố xác suất không trực tiếp về giá trị của đại lượng đo mà về quan hệ lâu dài giữa quy trình nhờ đó khoảng được thiết lập và đại lượng đo. Khi đã thu được giá trị đo và khoảng độ không đảm bảo tần suất được tính, kết quả sẽ không còn mang tính ngẫu nhiên nữa. Mặc dù không biết được giá trị của đại lượng đo thu được trong khoảng cụ thể bất kỳ nhưng những khoảng này sẽ chứa giá trị của đại lượng với một xác suất xác định. Không giống như khoảng tin cậy truyền thống chỉ dựa trên dữ liệu thống kê, khoảng độ không đảm bảo tần suất thường được thiết lập sao cho mức tin cậy mong muốn có được bằng trung bình sau khi lấy tích phân theo các phân bố xác suất của các đại lượng thu được bằng đánh giá độ không đảm bảo Loại B.

13.4  Mặt khác, khoảng độ không đảm bảo Bayes và dựa vào sự tin tưởng đều dựa trên phân bố xác suất mô tả trực tiếp hiểu biết về giá trị của đại lượng đo. Các phương pháp sử dụng để thu được hai loại khoảng này là khác nhau, nhưng kết quả tương tự nhau về khía cạnh này của giải thích. Các kết quả Bayes thu được bằng cách kết hợp các phân bố xác suất cho từng tham số quy định trước khi phân tích dữ liệu với mô hình xác suất mô tả độ biến động dữ liệu sử dụng định lý Bayes. Các phân bố hậu nghiệm thu được cho từng tham số phản ánh xác suất của các giá trị tham số với thông tin và dữ liệu trước. Kết quả dựa vào sự tin tưởng thu được bằng cách nghịch đảo mô hình xác suất cho dữ liệu được cung cấp các tham số để thu được phân bố cho các giá trị tham số được cung cấp dữ liệu.

13.5  Nếu kết quả bằng số luôn giống nhau thì mỗi cách giải thích có thể áp dụng (ít nhất là gần đúng) cho mọi khoảng độ không đảm bảo. Tuy nhiên, như chứng tỏ trong các ví dụ trong tiêu chuẩn này, các kết quả bằng số có thể khác nhau đáng kể trong một số trường hợp, mặc dù mỗi kết quả có thể được chứng minh về mặt xác suất và chúng có cùng mức ý nghĩa (thường là 95 %). Cũng có thể thấy những khác biệt khác. Ví dụ, nếu một trong các nguồn độ không đảm bảo chi phối trong một ứng dụng cụ thể tương ứng với đại lượng có phân bố đối xứng, khoảng độ không đảm bảo thu được bằng cách sử dụng cách tiếp cận Bayes hoặc cách tiếp cận dựa vào sự tin tưởng phản ánh sự bất đối xứng trong khi khoảng tin cậy xấp xỉ thu được bằng cách sử dụng quy trình trong GUM sẽ tạo ra khoảng độ không đảm bảo đối xứng (và có thể dài hơn mức cần thiết về một phía). Kết quả tần suất dựa trên các nguyên tắc thống kê khác có thể khớp với các kết quả theo Bayes hoặc dựa vào sự tin tưởng trong một số trường hợp, nhưng các phương pháp khác nhau nhìn chung sẽ không thống nhất vì mỗi cách tiếp cận cuối cùng dựa trên một tập hợp các giả định toán học và tiêu chí khác nhau.

13.6  Sự tồn tại các cách tiếp cận khác nhau để đánh giá độ không đảm bảo không phải luôn thống nhất có thể được coi là sự phức tạp. Tuy nhiên, tốt hơn là nhìn nhận nó như một cơ hội. Chỉ bằng cách liên tục làm việc với nhau để đánh giá các đặc điểm của các cách tiếp cận khác nhau thì các phương pháp đánh giá độ không đảm bảo cuối cùng thu được mới đáp ứng tất cả những nhu cầu vô cùng lớn của khoa học và kinh tế: các phương pháp được áp dụng thực tế, tận dụng hiệu quả các nguồn lực, và áp dụng cho nhiều loại phép đo, cả cũ và mới, và có ý nghĩa rõ ràng.

Thư mục tài liệu tham khảo

[1] TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008), Độ không đảm bảo đo - Phần 3: Hướng dẫn trình bày độ không đảm bảo đo (GUM:1995)

[2]  TCVN ISO/IEC 17025:20074 (ISO/IEC 17025:2005), Yêu cầu chung về năng lực của phòng thí nghiệm và hiệu chuẩn

[3]  TCVN 6165:2009 (ISO/IEC Guide 99:2007), Từ vựng quốc tế về đo lường - Khái niệm, thuật ngữ chung và cơ bản (VIM)

[4]  ISO/IEC Guide 98-3:2008/Suppl 1:2008, Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM: 1995) - Supplement 1: Propagation of distributions using Monte Carlo method (Độ không đảm bảo đo - Phần 3: Hướng dẫn trình bày độ không đảm bảo đo (GUM:1995) - Phần bổ sung 1: Lan truyền phân bố sử dụng phương pháp Monte Carlo)

[5]  GLESER, L.J. Assessing uncertainty in measurement. Statistical Science, 13:277-290, 1998 (Đánh giá độ không đảm bảo đo. Khoa học thống kê)

[6]  KACKER, R. and JONES, A. On use of Bayesian statistics to make the guide to the expression of uncertainty in measurement consistent. Metrologia, 40:235-248, 2003 (Sử dụng thống kê Bayes để đưa ra hướng dẫn với cách diễn tả độ không đảm bảo trong đo lường phù hợp)

[7]  ELSTER, C.W., WOGER, W. and COX, M.G. Draft GUM Supplement 1 and Bayesian analysis. Metrologia, 44:L31-L32, 2007

[8]  WILLINK, R. A procedure for the evaluation of measurement uncertainty based on moments. Metrologia, 42:329-343, 2005 (Quy trình đánh giá độ không đảm bảo đo dựa trên các mô men)

[9]  LIRA, I. and WOGER, W. Comparison between the conventional and Bayesian approaches to evaluate measurement data. Metrologia, 43:S249-S259, 2006 (So sánh giữa cách tiếp cận quy ước và cách tiếp cận Bayes để đánh giá dữ liệu đo)

[10]  GUTHRIE, W.F., LIU, H.K., RUKHIN, A.L., TOMAN, B., WANG, C.M. and ZHANG, N.F. Three statistical paradigms for the assessment and interpretation of measurement uncertainty. Data Modeling for Metrology and Testing in Measurement Sciences, edit. Pavese, F. and Forbes, A. B. Birkhauser, Boston, 2008 (Mô hình hóa dữ liệu cho đo lường và kiểm nghiệm trong khoa học đo lường)

[11]  KIRKUP, L. and FRENKEL, B. An introduction to Uncertainty in Measurement using the GUM. Cambridge University Press, Cambridge UK, 2006 (Giới thiệu độ không đảm bảo đo bằng cách sử dụng GUM)

[12] BAYES, T. An essay toward solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 53:370-418, 1764. (facsimile available at http://www.stat.ucla.edu/history/essay.pdf)

[13] FISHER, R.A. Inverse probability. Proc. Comb. Philos. Soc., 26:528-535, 1930

[14] CASELLA, G. and BERGER, R. Statistical Inference. Duxbury, MA, 2 edition, 2002 (Suy luận thống kê)

[15] GUTHRIE, W.F. Should (T1-T2) have larger uncertainty than T1? Proceedings of the 8^th International Conference on Temperature: Its Measurements and Control, 2:887-892, 2002. http://www.itl.nist.gov./div898/pubs/author/quthrie/quthrie-2002-01.pdf) (Tiến trình của Hội thảo quốc tế lần thứ 8 về nhiệt độ: Phép đo và kiểm soát)

[16] EFRON, B. and TIBSHIRANI, R.J. An Introduction to the Bootstrap. Monographs of Statistics and Applied Probability, volume 57. Chapman and Hall, 1993 (Tài liệu chuyên khảo về thống kê và xác suất ứng dụng)

[17] EISENHART, C. Expression of the uncertainties of final measurements results. NBS special publication, NIST, Gaithersburg, MD, 1983 (Thể hiện độ không đảm bảo của kết quả đo cuối cùng. Ấn phẩm đặc biệt của NBS)

[18] R Development Core Team. R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, 2003. ISBN 3-900051-00-3, http://www.R-proiect.org (Ngôn ngữ và môi trường cho tính toán thống kê)

[19] LUNN, D.J. THOMAS, A., BEST, N. and SPIEGELHALTER, D. WinBUGS - a Bayesian modeling framework: concepts, structure, and extensibility. Statistics and Computing, 10:325-337, 2000 (Khuôn khổ mô hình hóa Bayes: khái niệm, cấu trúc và mở rộng. Thống kê và tính toán)

[20] BERNARDO, J.M. and SMITH, A.F.M. Bayesian Theory. John Wiley and Sons Ltd. 1994

[21] HASTIE, T., TIBSHIRANI, R. and FRIEDMAN, J. The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction, Sprlnger-Verlag, New York, 2001 (Yếu tố của việc học thống kê: khai thác dữ liệu, suy luận và dự đoán)

[22] GELMAN, A., ARLIN, J.B., STERN, H.S., and RUBIN, D.B. Bayesian Data Analysis. Chapman and Hall, 1995 (Phân tích dữ liệu Bayes)

[23] BROWNE, W.J. and DRAPER, D.A comparison of Bayesian and likelihood-based methods for fitting multi-level models. Bayesian Analysis, 1:473-514,2006 (So sánh phương pháp Bayes và phương pháp dựa trên hàm hợp lý để khớp với các mô hình nhiều mức)

[24] WANG. C.M. and IYER, H.K. Propagation of uncertainties in measurements using generalized inference. Metrologia, 42:145-153, 2005 (Phổ biến độ không đảm bảo đo bằng cách sử dụng suy luận tổng quát)

[25] WANG. C.M. and IYER, H.K. A generalized confidence interval for a measurand in the presence of Type-A and Type-B uncertainties. Measurements, 39:856-863, 2006 (Khoảng tin cậy tổng quát cho thước đo trong độ không đảm bảo Loại A và Loại B)

[26] HANNIG, J., IYER, H.K. and PATTERSON, P.L. Fiducial generalized confidence intervals. Journal of the American Statistical Association, 101:254-269, 2006 (Khoảng tin cậy tổng quát dựa trên sự tin tưởng)

[27] WANG. C.M. and IYER, H.K. Uncertainty analysis for vector measurands using fiducial inference. Metrologia, 43:486-494, 2006 (Phân tích độ không đảm bảo đối với thước đo véc tơ bằng cách sử dụng suy luận tin tưởng)

[28] FRASER, D.A.S. The Structure of Inference. New York: Krieger, 1968 (Cấu trúc suy luận)

[29] HANNIG, J. On fiducial inference - the good, the bad and the ugly. Technical Report 2006/3, Department of Statistics, Colorado State University, Fort Collins, CO, 2006. URL http://www.stat.colostate.edu/research/2006_3.pdf

[30] IYER, H.K. and PATTERSON, P.L. A recipe for constructing generalized pivot quantities and generalized confidence intervals. Technical Report 2002/10, Department of Statistics, Colorado State University, Fort Collins, CO, 2002. URL http://www.stat.colostate.edu/research/2002 10.pdf (Công thức để xây dựng đại lượng then chốt tổng quát và khoảng tin cậy tổng quát)

[31] RUKHIN, A.L. and SEDRANSK, N. Statistics in metrology: international key comparisons and interlaboratory studies. Journal of Data Science, 7:393-412, 2007 (Thống kê trong đo lường: nghiên cứu so sánh và nghiên cứu liên phòng quốc tế chính)

[32] EFRON, B. Six questions raised by the bootstrap. In: Exploring the Limits of Bootstrap (R.LePage and L. Billard, editors) pages 99-126. Wiley, NY, 1992 (Khai thác giới hạn của Bootstrap)

[33] LINDLEY, D. and SMITH, A.F.M. Bayes estimates for the linear model, JRSS B., 34:1-41, 1972 (ước lượng Bayes cho mô hình tuyến tính)

[34] ELSTER, C. and TOMAN, B. Bayesian uncertainty analysis under prior ignorance of the measurand versus analysis using the Supplement 1 to the Guide: a comparison, Metrologia, 46:261-266, 2009 (Phân tích độ không đảm bảo Bayes theo sự thiếu hiểu biết trước của phép đo so với phân tích bằng cách sử dụng Bổ sung 1 cho hướng dẫn)

[35] HALL, B.D. Evaluating methods of calculating measurement uncertainty, Metrologia, 45:L5-L8, 2008 (Phương pháp đánh giá để tính độ không đảm bảo đo)

[36] WANG, C.M. and IYER, H.K. Fiducial intervals for the magnitude of an complex-valued quantity, Metrologia, 46:1 81-86, 2009 (Khoảng tin cậy cho độ lớn của đại lượng có giá trị phức tạp).

MỤC LỤC

Lời nói đầu

Lời giới thiệu

1  Phạm vi áp dụng

2  Tài liệu viện dẫn

3  Thuật ngữ và định nghĩa

4  Ký hiệu (và từ viết tắt)

5  Vấn đề giải quyết

6  Cách tiếp cận thống kê

6.1  Các tiếp cận tần suất

6.2  Cách tiếp cận Bayes

6.3  Cách tiếp cận dựa vào sự tin tưởng

6.4  Thảo luận

7  Các ví dụ

7.1  Khái quát

7.2  Ví dụ 1a

7.3  Ví dụ 1b

7.4  Ví dụ 1c

8  Cách tiếp cận tần suất để đánh giá độ không đảm bảo

8.1  Phương pháp cơ bản

8.2  Khoảng độ không đảm bảo bootstrap

8.3  Ví dụ 1

9  Cách tiếp cận Bayes để đánh giá độ không đảm bảo

9.1  Phương pháp cơ bản

9.2  Ví dụ 1 

10  Lập luận tin tưởng để đánh giá độ không đảm bảo

10.1  Phương pháp cơ bản

10.2  Ví dụ 1

11  Ví dụ 2: hiệu chuẩn can mẫu

11.1  Khái quát

11.2  Cách tiếp cận tần suất

11.3  Cách tiếp cận Bayes

11.4  Cách tiếp cận dựa vào sự tin tưởng

12  Thảo luận

12.1  So sánh các đánh giá độ không đảm bảo sử dụng ba cách tiếp cận thống kê

12.2  Quan hệ giữa các phương pháp đề xuất trong GUM phần bổ sung 1 (GUMS1) và ba cách tiếp cận thống kê

13  Tổng kết

Thư mục tài liệu tham khảo