Tiêu chuẩn TCVN 8006-6:2009 Xác định khoảng dung sai thống kê

TIÊU CHUẨN QUỐC GIA

TCVN 8006-6:2009

ISO 16269-6:2005

GIẢI THÍCH CÁC DỮ LIỆU THỐNG KÊ - PHẦN 6: XÁC ĐỊNH KHOẢNG DUNG SAI THỐNG KÊ

Statistical interpretation of data - Part 6: Determination of statistical tolerance intervals

Lời nói đầu

TCVN 8006-6 : 2009 thay thế cho TCVN 4549-1988;

TCVN 8006-6 : 2009 hoàn toàn tương đương với ISO 16269-6 : 2005;

TCVN 8006-6 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố.

Bộ tiêu chuẩn ISO 16269 còn có tiêu chuẩn sau:

- ISO 16269-7, Statistical interpretation of data - Part 7: Median - Estimation and confidence intervals

- ISO 16269-8, Statistical interpretation of data - Part 8: Determination of prediction intervals

Lời giới thiệu

Khoảng dung sai thống kê là khoảng ước lượng, dựa trên mẫu, có thể được khẳng định với mức tin cậy 1 - a, ví dụ 95 %, rằng khoảng đó chứa ít nhất một tỷ lệ p quy định các cá thể trong tổng thể. Giới hạn của một khoảng dung sai thống kê được gọi là giới hạn dung sai thống kê. Mức tin cậy 1 - a là xác suất mà một khoảng dung sai thống kê được thiết lập theo cách thức quy định sẽ chứa ít nhất một tỷ lệ p của tổng thể. Ngược lại, xác suất mà khoảng này chứa ít hơn tỷ lệ p của tổng thể là a. Tiêu chuẩn này mô tả khoảng dung sai một phía và hai phía; khoảng một phía gồm giới hạn trên hoặc giới hạn dưới, còn khoảng hai phía gồm cả giới hạn trên và giới hạn dưới.

Khoảng dung sai là hàm số của các quan sát mẫu, nghĩa là thống kê, và chúng thường có các giá trị khác nhau đối với các mẫu khác nhau. Các quan sát này nhất thiết phải độc lập để các quy trình trong tiêu chuẩn này có hiệu lực.

Tiêu chuẩn này cung cấp hai loại khoảng dung sai, tham số và phi tham số. Cách tiếp cận tham số dựa trên giả định là đặc trưng nghiên cứu trong tổng thể có phân bố chuẩn; do đó, mức tin cậy để khoảng dung sai thống kê tính được chứa ít nhất một tỷ lệ p của tổng thể chỉ có thể lấy là 1 - a nếu giả thiết phân bố chuẩn là đúng. Đối với các đặc tính phân bố chuẩn, khoảng dung sai thống kê được xác định bằng cách sử dụng một trong các biểu mẫu A, B, C hoặc D trong Phụ lục A.

Phương pháp tham số đối với các phân bố không phải là phân bố chuẩn không được xem xét trong tiêu chuẩn này. Nếu nghi ngờ có sai lệch so với phân bố chuẩn thì có thể thiết lập khoảng dung sai thống kê phi tham số. Quy trình xác định khoảng dung sai thống kê đối với phân bố liên tục bất kỳ được nêu trong biểu mẫu E và F của Phụ lục A.

Trong quản lý quá trình thống kê, có thể sử dụng các giới hạn dung sai trong tiêu chuẩn này để so sánh khả năng tự nhiên của quá trình với một hoặc hai giới hạn quy định cho trước, giới hạn trên U hoặc giới hạn dưới L, hoặc cả hai. Trên thực tế, các giới hạn dung sai này còn được gọi là giới hạn quá trình tự nhiên. Xem ISO 3534-2:1993, 3.2.4, còn các lưu ý chung trong ISO 3207 sẽ được hủy bỏ và thay bằng tiêu chuẩn này.

Nằm cao hơn giới hạn trên U có tỷ lệ không phù hợp trên p_U/(ISO 3534-2:2006, 3.2.5 5 và 3.3.1.4), nằm thấp hơn giới hạn dưới L có tỷ lệ không phù hợp dưới p_L (ISO 3534-2:2006, 3.2.5.6 và 3.3.1.5). Tổng p_U + p_L = p_T được gọi là tổng tỷ lệ không phù hợp. (ISO 3534-2:2006, 3.2.5.7). Giữa các giới hạn quy định U và L có tỷ lệ phù hợp 1 - p_T.

Trong quản lý quá trình thống kê, giới hạn U và L được định trước còn các tỷ lệ p_U, p_L và p_T cần được tính, nếu giả định là biết trước phân bố, hoặc nếu không thì ước lượng. Có nhiều ứng dụng của khoảng dung sai thống kê mặc dù trên đây mới đưa ra một ví dụ về vấn đề kiểm soát chất lượng. Các ứng dụng rộng rãi và nhiều khoảng dung sai thống kê được đề cập trong sách giáo khoa như của Hahn và Meeker ^[10].

Trái lại, đối với khoảng dung sai đề cập trong tiêu chuẩn này, mức tin cậy của ước lượng khoảng và tỷ lệ cá thể phân bố trong phạm vi khoảng đó (ứng với tỷ lệ phù hợp nêu ở trên) được định trước còn các giới hạn được ước lượng. Các giới hạn này có thể so sánh với U và L. Vì vậy, có thể so sánh tính thích hợp của các giới hạn quy định U và L cho trước với các tính chất thực tế của quá trình. Khoảng dung sai một phía được sử dụng khi chỉ liên quan đến giới hạn trên hoặc giới hạn dưới, trong khi khoảng dung sai hai phía được dùng khi cả giới hạn trên và giới hạn dưới được xem xét đồng thời.

Thuật ngữ liên quan đến các giới hạn và khoảng khác nhau này đã bị nhầm là “giới hạn quy định” trước đây còn được gọi là “giới hạn dung sai” (xem tiêu chuẩn về thuật ngữ ISO 3534-2:1993, 1.4.3, trong đó, các thuật ngữ này cũng như thuật ngữ “giá trị giới hạn” đều được dùng như từ đồng nghĩa cho khái niệm này). Trong ISO 3534-2:2006, chỉ sử dụng thuật ngữ giới hạn quy định với khái niệm này. Ngoài ra, Hướng dẫn trình bày độ không đảm bảo đo [5] sử dụng thuật ngữ “hệ số phủ” được định nghĩa là “một thừa số sử dụng làm hệ số nhân của độ không đảm bảo chuẩn kết hợp nhằm thu được độ không đảm bảo mở rộng”. Việc sử dụng từ “phủ” này khác với việc sử dụng thuật ngữ trong tiêu chuẩn này.

GIẢI THÍCH CÁC DỮ LIỆU THỐNG KÊ - PHẦN 6: XÁC ĐỊNH KHOẢNG DUNG SAI THỐNG KÊ

Statistical interpretation of data - Part 6: Determination of statistical tolerance intervals

1. Phạm vi áp dụng

Tiêu chuẩn này mô tả các quy trình thiết lập khoảng dung sai chứa ít nhất một tỷ lệ quy định của tổng thể ứng với mức tin cậy quy định. Tiêu chuẩn này đưa ra cả khoảng dung sai thống kê một phía và hai phía, trong đó khoảng dung sai một phía có giới hạn trên hoặc giới hạn dưới, còn khoảng dung sai hai phía có cả giới hạn trên và giới hạn dưới. Hai phương pháp được đề cập trong tiêu chuẩn này là phương pháp tham số đối với trường hợp đặc trưng nghiên cứu có phân bố chuẩn và phương pháp phi tham số đối với trường hợp chỉ biết là phân bố liên tục.

2. Tài liệu viện dẫn

Các tài liệu viện dẫn trong tiêu chuẩn này rất cần thiết cho việc áp dụng tiêu chuẩn. Đối với các tài liệu có ghi năm công bố thì áp dụng bản được nêu. Đối với các tài liệu không ghi năm công bố thì áp dụng phiên bản mới nhất, bao gồm cả các sửa đổi.

ISO 3534-1, Statistics - Vocabulary and symbols - Part 1: Probability and general statistical terms (Thống kê - Từ vựng và ký hiệu - Phần 1: Thuật ngữ chung về xác suất và thống kê)

ISO 3534-2:2006, Statistics - Vocabulary and symbols - Part 2: Applied statistics (Thống kê - Từ vựng và ký hiệu - Phần 2: Thống kê ứng dụng)

3. Thuật ngữ, định nghĩa và ký hiệu

3.1. Thuật ngữ và định nghĩa

Tiêu chuẩn này áp dụng các thuật ngữ và định nghĩa trong ISO 3534-1 và ISO 3534-2 và các thuật ngữ, định nghĩa dưới đây.

3.1.1. Khoảng dung sai thống kê (statistical tolerance interval)

Khoảng xác định từ mẫu ngẫu nhiên sao cho có thể có được mức tin cậy quy định mà khoảng này phủ ít nhất một tỷ lệ quy định các cá thể của tổng thể được lấy mẫu.

CHÚ THÍCH: Mức tin cậy trong trường hợp này là tỷ lệ của các khoảng được thiết lập theo cách này suốt một thời gian dài sẽ chứa ít nhất một tỷ lệ quy định của tổng thể được lấy mẫu.

3.1.2. Giới hạn dung sai thống kê (statistical tolerance limit)

Thống kê biểu diễn đầu mút của khoảng dung sai thống kê.

CHÚ THÍCH: Khoảng dung sai thống kê có thể là một phía, trong đó có thể có dung sai thống kê giới hạn trên hoặc dưới, hoặc hai phía, trong đó có cả giới hạn trên và dưới.

3.1.3. Tỷ lệ phủ (coverage)

Tỷ lệ cá thể của tổng thể nằm trong phạm vi khoảng dung sai thống kê.

CHÚ THÍCH: Không được nhầm khái niệm này với khái niệm hệ số phủ được sử dụng trong Hướng dẫn trình bày độ không đảm bảo đo (GUM ) ^[5].

3.1.4. Tổng thể chuẩn (normal population)

Tổng thể có phân bố chuẩn.

3.2. Ký hiệu

Tiêu chuẩn này sử dụng các ký hiệu dưới đây.

i                       chỉ số của một quan sát

k₁ (n; p; 1 - a),    hệ số dùng để xác định x_L hoặc x_U khi biết trước giá trị s đối với khoảng dung sai một phía

k₂ (n; p; 1 - a),    hệ số dùng để xác định x_L hoặc x_U khi biết trước giá trị s đối với khoảng dung sai hai phía

k₃ (n; p; 1 - a),    hệ số dùng để xác định x_L hoặc x_U khi không biết trước giá trị s đối với khoảng dung sai một phía

k₄ (n; p; 1 - a)     hệ số dùng để xác định x_L hoặc x_U khi không biết trước giá trị s đối với khoảng dung sai hai phía

n                      số quan sát trong mẫu

p                      tỷ lệ tối thiểu của tổng thể công bố là nằm trong khoảng dung sai thống kê

u_p                     p- phân vị của phân bố chuẩn

x_i                      giá trị quan sát thứ i (i = 1, 2,..., n)

x_max                   giá trị lớn nhất trong số các giá trị quan sát: x_max = max {x₁, x₂, …, x_n}

x_min                   giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị quan sát: x_min = min {x₁, x₂, …, x_n}

x_L                     giới hạn dưới của khoảng dung sai thống kê

x_U                     giới hạn trên của khoảng dung sai thống kê

                     trung bình mẫu,

s                      độ lệch chuẩn mẫu,

1 - a                 mức tin cậy của công bố là tỷ lệ của tổng thể nằm trong phạm vi khoảng dung sai lớn hơn hoặc bằng mức quy định p

m                      trung bình tổng thể

s                      độ lệch chuẩn tổng thể

4. Quy trình

4.1. Tổng thể phân bố chuẩn với phương sai và trung bình đã biết

Phân bố của đặc trưng đang nghiên cứu có thể xác định đầy đủ khi đã biết giá trị của trung bình, m, và phương sai, s², của tổng thể có phân bố chuẩn. Tỷ lệ p chính xác của tổng thể:

a) nằm bên phải của x_L = m - u_p x s (khoảng một phía);

b) nằm bên trái của x_U = m + u_p x s (khoảng một phía);

c) nằm giữa x_L = m - u_{(1 + p)/2} x s và x_U = m + u_{(1 + p)/2} x s (khoảng hai phía).

CHÚ THÍCH: Vì công bố này là đúng nên chúng có độ tin cậy 100 %.

Trong các công thức ở trên, u_p là p-phân vị của phân bố chuẩn. Có thể đọc trị số u_p ở dòng cuối của các Bảng từ B.1 đến B.6 và các Bảng từ C.1 đến C.6.

4.2. Tổng thể phân bố chuẩn với phương sai đã biết và trung bình chưa biết

Biểu mẫu A và B, trong Phụ lục A, áp dụng cho trường hợp đã biết phương sai và chưa biết trung bình của tổng thể phân bố chuẩn. Biểu mẫu A áp dụng cho trường hợp khoảng một phía, biểu mẫu B áp dụng cho trường hợp khoảng hai phía.

4.3. Tổng thể phân bố chuẩn với phương sai và trung bình chưa biết

Biểu mẫu C và D, trong Phụ lục A, áp dụng cho trường hợp chưa biết phương sai và trung bình của tổng thể phân bố chuẩn. Biểu mẫu C áp dụng cho trường hợp khoảng một phía, biểu mẫu D áp dụng cho trường hợp khoảng hai phía.

4.4. Phân bố liên tục bất kỳ chưa biết dạng

Nếu đặc trưng nghiên cứu là một biến liên tục của một tổng thể chưa biết thuộc dạng nào, và nếu lấy một mẫu gồm n quan sát ngẫu nhiên độc lập của đặc trưng đó, thì có thể xác định khoảng dung sai thống kê từ các quan sát dạng thứ bậc. Quy trình nêu trong các biểu mẫu E và F của Phụ lục A đề cập đến việc xác định độ bao phủ hoặc cỡ mẫu cần thiết đối với khoảng dung sai xác định từ các cực trị x_min hoặc x_max của mẫu quan sát với mức tin cậy 1 - a.

CHÚ THÍCH: Khoảng dung sai thống kê không phụ thuộc vào dạng phân bố của tổng thể được lấy mẫu gọi là khoảng dung sai phi tham số.

Tiêu chuẩn này không đưa ra các quy trình đối với các dạng phân bố đã biết ngoài phân bố chuẩn. Tuy nhiên, nếu phân bố là liên tục thì có thể sử dụng phương pháp phi tham số. Phần cuối của tiêu chuẩn này đưa ra các tài liệu khoa học tham khảo có thể hỗ trợ cho việc xác định khoảng dung sai đối với các dạng phân bố khác.

5. Ví dụ

5.1. Dữ liệu

Các biểu mẫu từ A đến D, cho trong Phụ lục A, được minh họa bằng các ví dụ sử dụng các trị số trong ISO 2854:1976, điều 2, đoạn 1 của phần giới thiệu, bảng X, sợi 2: 12 kết quả đo tải trọng đứt của sợi chỉ. Cần chú ý rằng số quan sát, n = 12, được cho trong các ví dụ này ít hơn nhiều so với giá trị khuyến nghị trong ISO 2602 ^[1]. Số liệu và tính toán trong các ví dụ khác nhau được biểu thị bằng centi-niutơn (xem Bảng 1).

Bảng 1 - Dữ liệu cho các ví dụ từ 1 đến 4

Các giá trị tính bằng centi-niutơn

Các phép đo này thu được từ một lô gồm 12 000 ống chỉ, từ một đợt sản xuất, đóng trong 120 hộp, mỗi hộp gồm 100 ống chỉ. Từ lô, lấy ngẫu nhiên 12 hộp và từ mỗi hộp lại lấy ngẫu nhiên một ống chỉ. Từ sợi chỉ trên các ống chỉ này cắt các mẫu thử dài 50 cm, cách đầu tự do một khoảng 5 m. Tiến hành các phép thử tại phần giữa của các mẫu thử này. Từ thông tin cho trước có thể giả định rằng tải trọng đứt đo được trong các điều kiện này gần như có phân bố chuẩn. ISO 2954:1976 chứng minh rằng dữ liệu này không trái với giả định về phân bố chuẩn.

Các kết quả thu được như sau:

Cỡ mẫu:                       n = 12

Trung bình mẫu:             = 3 024,1/12 = 252,01

Độ lệch chuẩn mẫu:      

Cách trình bày các tính toán chỉ được cung cấp cho biểu mẫu C trong Phụ lục A (khoảng một phía, phương sai chưa biết).

5.2. Ví dụ 1: Khoảng dung sai thống kê một phía với phương sai đã biết

Giả định rằng các phép đo thu được trước đó chứng tỏ rằng độ phân tán giữa các lô của cùng một nhà cung cấp là không thay đổi, và được biểu thị bằng độ lệch chuẩn s = 33,150, mặc dù trung bình thay đổi. Giới hạn x_L cần sao cho với mức tin cậy 1 - a = 0,95 (95 %) có thể chắc chắn rằng ít nhất là 0,95 (95 %) tải trọng đứt của các cá thể trong lô cao hơn x_L khi đo trong cùng một điều kiện.

Bảng B.4 cho

k₁ (12; 0,95; 0,95) = 2,120

từ đó

x_L=   - k₁ (n; p; 1 - a) x s = 252,01 - 2,120 x 33,150 = 181,732

Có thể thu được giá trị giới hạn dưới x_L nhỏ hơn nếu yêu cầu tỷ lệ của tổng thể lớn hơn (ví dụ p = 0,99) và/hoặc mức tin cậy cao hơn (ví dụ 1 - a = 0,99).

5.3. Ví dụ 2: Khoảng dung sai thống kê hai phía với phương sai đã biết

Trong cùng điều kiện như ví dụ 1, giả định yêu cầu các giới hạn x_L và x_U sao cho với mức tin cậy 1 - a = 0,95 có thể chắc chắn rằng ít nhất tỷ lệ p = 0,90 (90 %) của tải trọng đứt của lô nằm trong khoảng giữa x_L và x_U.

Bảng C.4 cho

k₂ (12; 0,90; 0,95) = 1,889

từ đó

x_L =   - k₂ (n; p; 1 - a) x s = 252,01 - 1,889 x 33,150 = 189,390

x_U =   - k₂ (n; p; 1 - a) x s = 252,01 + 1,889 x 33,150 = 314,630

So sánh với ví dụ 1 có thể thấy rõ rằng giả định là ít nhất 90 % cá thể của tổng thể nằm trong khoảng giữa x_L và x_U không giống với giả định là không có quá 5 % cá thể nằm ngoài mỗi giới hạn.

5.4. Ví dụ 3: Khoảng dung sai thống kê một phía với phương sai chưa biết

Ở đây giả định là chưa biết độ lệch chuẩn của tổng thể và cần phải ước lượng từ mẫu. Các yêu cầu tương tự sẽ được giả định như trong trường hợp đã biết độ lệch chuẩn (ví dụ 1), do đó, p = 0,95 và 1 - a = 0,95. Việc trình bày các kết quả được nêu chi tiết dưới đây.

5.5. Ví dụ 4: Khoảng dung sai thống kê hai phía với phương sai chưa biết

Trong cùng điều kiện như ví dụ 2, giả định yêu cầu tính các giới hạn x_L và x_U sao cho mức tin cậy 1 - a = 0,95 có thể chắc chắn với rằng tỷ lệ của lô ít nhất bằng p = 0,90 (90 %) của tải trọng đứt của lô nằm trong khoảng giữa x_L và x_U.

Bảng E.4 cho

k₄ (n; p; 1 - a) = 2,671

từ đó

x_L = - k₄ (n, p; 1 - a) x s  = 252,01 - 2,671 x 35,545 = 157,069

x_U = - k₄ (n, p; 1 - a) x s   252,01 + 2,671 x 33,545 = 346,951

Có thể thấy rằng giá trị x_L nhỏ hơn và giá trị x_U lớn hơn so với ở ví dụ 2 (phương sai đã biết), vì việc sử dụng s thay cho s đòi hỏi giá trị hệ số dung sai lớn hơn để cho phép chứa thêm độ không chắc chắn. Việc không biết độ lệch chuẩn của tổng thể phải trả giá bằng việc mở rộng khoảng dung sai thống kê. Tất nhiên không thể chắc chắn hoàn toàn rằng giá trị s = 33,150 sử dụng trong ví dụ 1 và 2 là chính xác. Vì vậy, nên sử dụng ước lượng, s, cùng với Bảng D.4 hoặc E.4.

5.6. Ví dụ 5: Khoảng dung sai thống kê phi tham số đối với phân bố liên tục

Trong phép thử độ mỏi bằng ứng suất quay thực hiện trên một thành phần động cơ máy bay, một mẫu gồm 15 cá thể đã cho kết quả (phép đo độ bền), được trình bày theo thứ tự giá trị tăng dần trong Bảng 2.

Bảng 2 - Dữ liệu cho ví dụ 5

Kiểm tra phân bố chuẩn bằng biểu đồ, như biểu đồ xác suất, cho thấy là giả thiết về phân bố chuẩn của tổng thể các thành phần hầu như chắc chắn bị loại bỏ (xem ISO 5479). Vì thế có thể áp dụng các phương pháp trong biểu mẫu E, Phụ lục A, để xác định khoảng dung sai thống kê.

Các cực trị từ một mẫu n = 15 phép đo là:

x_min = 0,200, x_max = 8,800

Giả sử mức tin cậy yêu cầu 1 - a là 0,95.

a) Tỷ lệ tối đa các thành phần của tổng thể nằm trong khoảng thấp hơn x_min = 0,200 là bao nhiêu? Bảng F.1, với 1 - a = 0,95, cho tỷ lệ tối thiểu cao hơn có giá trị p cao hơn 0,75 (75 %) một chút. Vì thế, tỷ lệ tối đa thấp hơn x_min có giá trị 1 - p thấp hơn 0,25 (25 %) một chút.

b) Cỡ mẫu bao nhiêu là cần thiết để có thể chắc chắn, với mức tin cậy 0,95, rằng ít nhất tỷ lệ p = 0,90 (90 %) các thành phần của tổng thể sẽ thấp hơn giá trị lớn nhất của mẫu đó? Bảng F.1, đối với 1 - a = 0,95 và p = 0,90, cho n = 29.

c) Ở mức tin cậy 0,95, tỷ lệ tối thiểu các thành phần của tổng thể nằm trong khoảng từ x_min = 0,200 và x_max = 8,800 là bao nhiêu? Bảng G.1, đối với 1 - a = 0,95 và n = 15, cho p thấp hơn 0,75 (75 %) một chút.

d) Cỡ mẫu bao nhiêu là cần thiết để có thể chắc chắn, với mức tin cậy 0,95, rằng ít nhất với tỷ lệ p = 0,90 (90 %) các thành phần của tổng thể sẽ nằm trong khoảng giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của mẫu đó? Bảng G.1, đối với 1 - a = 0,95 và p = 0,90, cho n = 46.

e) Nói chung, nếu kiểm tra phân bố chuẩn (xem ISO 5479) cho thấy sai lệch so với phân bố chuẩn thì nên chuyển đổi dựa trên hiểu biết về dữ liệu thu thập được. Ví dụ, dữ liệu về độ mỏi thường xấp xỉ loga phân bố chuẩn. Trong các trường hợp này, dữ liệu cần được chuyển về dạng chuẩn. Sau đó, tính khoảng dung sai rồi cuối cùng chuyển trở về đơn vị ban đầu.

Xem Phụ lục H về kết cấu của khoảng dung sai thống kê đối với khoảng dung sai phi tham số dùng cho mọi loại phân bố. Phụ lục I đề cập đến việc tính toán các hệ số đối với khoảng dung sai thống kê tham số hai phía.

PHỤ LỤC A

(tham khảo)

Mẫu dùng cho khoảng dung sai

Mẫu A - Khoảng dung sai thống kê một phía (phương sai đã biết)

Mẫu B - Khoảng dung sai thống kê hai phía (phương sai đã biết)

Mẫu C - Khoảng dung sai thống kê một phía (phương sai chưa biết)

Mẫu D - Khoảng dung sai thống kê hai phía (phương sai chưa biết)

Mẫu E - Khoảng dung sai thống kê một phía, phân bố bất kỳ

Mẫu F - Khoảng dung sai thống kê hai phía, phân bố bất kỳ

PHỤ LỤC B

(quy định)

Hệ số giới hạn dung sai thống kê một phía, k1(n; p; 1 - ),  đã biết

PHỤ LỤC C