Tiêu chuẩn Quốc gia TCVN 8006-6:2015 ISO 16269-6:2014 Giải thích dữ liệu thống kê-Phần 6: Xác định khoảng dung sai thống kê

TIÊU CHUẨN QUỐC GIA

TCVN 8006-6:2015

ISO 16269-6:2014

GIẢI THÍCH DỮ LIỆU THỐNG KÊ - PHẦN 6: XÁC ĐỊNH KHOẢNG DUNG SAI THỐNG KÊ

Statistical interpretation of data - Part 6: Determination of statistical tolerance intervals

Lời nói đầu

TCVN 8006-6:2015 thay thế cho TCVN 8006-6:2009;

TCVN 8006-6:2015 hoàn toàn tương đương với ISO 16269-6:2014;

TCVN 8006-6:2015 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố.

Bộ TCVN 8006 (ISO 16269), Giải thích dữ liệu thống kê, gồm các tiêu chuẩn sau:

- TCVN 8006-4:2013 (ISO 16269-4:2010), Phần 4: Phát hiện và xử lý các giá trị bất thường

- TCVN 8006-6:2015 (ISO 16269-6:2014), Phần 6: Xác định khoảng dung sai thống kê

- TCVN 8006-7:2013 (ISO 16269-7:2001), Phần 7: Trung vị - Ước lượng và khoảng tin cậy

Bộ ISO 16269, Statistical interpretation of data, còn có tiêu chuẩn sau:

- ISO 16269-8, Part 8: Determination of prediction intervals

Lời giới thiệu

Khoảng dung sai thống kê là khoảng ước lượng, dựa trên mẫu, có thể được khẳng định với mức tin cậy 1 - α, ví dụ 0,95, rằng khoảng đó chứa ít nhất một tỷ lệ p qui định các cá thể trong tổng thể. Giới hạn của một khoảng dung sai thống kê được gọi là giới hạn dung sai thống kê. Mức tin cậy 1 - α là xác suất mà một khoảng dung sai thống kê được thiết lập theo cách thức qui định sẽ chứa ít nhất một tỷ lệ p của tổng thể. Ngược lại, xác suất mà khoảng này chứa ít hơn tỷ lệ p của tổng thể là α. Tiêu chuẩn này mô tả khoảng dung sai một phía và hai phía; khoảng một phía gồm giới hạn trên hoặc giới hạn dưới, còn khoảng hai phía gồm cả giới hạn trên và giới hạn dưới.

Khoảng dung sai thống kê phụ thuộc vào mức tin cậy 1 - α và một tỷ lệ p qui định của tổng thể. Mức tin cậy của khoảng dung sai thống kê được biết rõ từ khoảng tin cậy đối với một tham số. Tuyên bố tin cậy về khoảng tin cậy là, với một tỷ lệ 1 - α các trường hợp trong một loạt dài các mẫu ngẫu nhiên lặp lại trong điều kiện giống nhau, khoảng tin cậy đó chứa giá trị thực của tham số. Tương tự, tuyên bố tin cậy về khoảng dung sai thống kê nêu rõ rằng, với tỷ lệ 1 - α các trường hợp trong một loạt dài các mẫu ngẫu nhiên lặp lại trong điều kiện giống nhau, ít nhất một tỷ lệ p của tổng thể nằm trong khoảng đó. Vì vậy, nếu ta xem tỷ lệ quy định p của tổng thể như một tham số thì khái niệm về khoảng dung sai thống kê cũng giống như khái niệm về khoảng tin cậy.

Khoảng dung sai thống kê là hàm số của các quan trắc mẫu, nghĩa là thống kê, và chúng thường có các giá trị khác nhau đối với các mẫu khác nhau. Các quan trắc này nhất thiết phải độc lập để các qui trình trong tiêu chuẩn này có hiệu lực.

Tiêu chuẩn này cung cấp hai loại khoảng dung sai thống kê, tham số và phi tham số. Cách tiếp cận tham số dựa trên giả định là đặc trưng được nghiên cứu trong tổng thể có phân bố chuẩn; do đó, mức tin cậy để khoảng dung sai thống kê tính được chứa ít nhất một tỷ lệ p của tổng thể chỉ có thể lấy là 1 - α nếu giả thiết phân bố chuẩn là đúng. Đối với các đặc trưng phân bố chuẩn, khoảng dung sai thống kê được xác định bằng cách sử dụng một trong các Biểu mẫu A, B hoặc C trong Phụ lục B.

Phương pháp tham số đối với các phân bố không phải là phân bố chuẩn không được xem xét trong tiêu chuẩn này. Nếu nghi ngờ có sai lệch so với phân bố chuẩn thì có thể thiết lập khoảng dung sai thống kê phi tham số. Qui trình xác định khoảng dung sai thống kê đối với phân bố liên tục bất kỳ được nêu trong Biểu mẫu D của Phụ lục B.

Trong quản lý thống kê quá trình, có thể sử dụng các giới hạn dung sai thống kê trong tiêu chuẩn này để so sánh năng lực tự nhiên của quá trình với một hoặc hai giới hạn qui định cho trước, giới hạn trên U hoặc giới hạn dưới L, hoặc cả hai.

Nằm cao hơn giới hạn quy định trên U có tỷ lệ không phù hợp trên p_U [TCVN 8244-2:2010 (ISO 3534-2:2006), 2.5.4], nằm thấp hơn giới hạn quy định dưới L có tỷ lệ không phù hợp dưới p_L [TCVN 8244- 2:2010 (ISO 3534-2:2006), 2.5.5). Tổng p_U + p_L = p_t được gọi là tổng tỷ lệ không phù hợp. [TCVN 8244-2:2010 (ISO 3534-2:2006), 2.5.6]. Giữa các giới hạn qui định U và L có tỷ lệ phù hợp 1 - p_t.

Ý nghĩa của khoảng dung sai thống kê rộng hơn so với thường được hiểu, ví dụ trong lấy mẫu chấp nhận định lượng và trong quản lý thống kê quá trình, như được đề cập trong hai đoạn tiếp theo.

Trong lấy mẫu chấp nhận định lượng, giới hạn U và/hoặc L sẽ được biết, p_U, p_L hoặc p_t sẽ được quy định là giới hạn chất lượng chấp nhận (AQL), α sẽ được gợi ý và lô được chấp nhận nếu ít nhất ở mức tin cậy 100(1- α)% AQL này không bị vượt quá.

Trong quản lý thống kê quá trình, giới hạn U và L được định trước còn các tỷ lệ p_U, p_L và p_t được tính, nếu giả định là biết trước hoặc ước lượng được phân bố. Đây là một ví dụ về việc ứng dụng kiểm soát chất lượng, nhưng còn có nhiều ứng dụng khác của khoảng dung sai thống kê được đề cập trong sách giáo khoa như của Hahn và Meeker ^[13].

Trái lại, đối với khoảng dung sai đề cập trong tiêu chuẩn này, mức tin cậy của ước lượng khoảng và tỷ lệ cá thể phân bố trong phạm vi khoảng đó (ứng với tỷ lệ phù hợp nêu ở trên) được định trước còn các giới hạn được ước lượng. Các giới hạn này có thể so sánh với U và L. Vì vậy, có thể so sánh tính thích hợp của các giới hạn qui định U và L cho trước với các tính chất thực tế của quá trình. Khoảng dung sai thống kê một phía được sử dụng khi chỉ liên quan đến giới hạn qui định trên U hoặc giới hạn qui định dưới L, trong khi khoảng dung sai hai phía được dùng khi cả giới hạn qui định trên và dưới được xem xét đồng thời.

Thuật ngữ liên quan đến các giới hạn và khoảng khác nhau này đã bị nhầm là “giới hạn qui định” trước đây còn được gọi là “giới hạn dung sai” (xem tiêu chuẩn về thuật ngữ ISO 3534-2:1993, 1.4.3, trong đó, các thuật ngữ này cũng như thuật ngữ “giá trị giới hạn” đều được sử dụng như từ đồng nghĩa cho khái niệm này). Trong TCVN 8244-2:2010 (ISO 3534-2:2006), 3.1.3, chỉ sử dụng thuật ngữ giới hạn qui định đối với khái niệm này. Ngoài ra, Hướng dẫn trình bày độ không đảm bảo đo ^[5] sử dụng thuật ngữ “hệ số phủ” được định nghĩa là “một thừa số sử dụng làm hệ số nhân của độ không đảm bảo chuẩn tổng hợp để nhận được độ không đảm bảo mở rộng”. Việc sử dụng từ “phủ” này khác với việc sử dụng thuật ngữ trong tiêu chuẩn này.

TCVN 8006-6:2009 (ISO 16269-6:2005) đưa ra các bảng mở rộng của hệ số k đối với khoảng dung sai một phía và hai phía khi chưa biết trung bình nhưng đã biết độ lệch chuẩn. Trong tiêu chuẩn này các bảng đó bị bỏ. Thay vào đó, hệ số k chính xác được cho trong Phụ lục A khi chưa biết một trong các tham số của phân bố chuẩn còn tham số kia đã biết.

TCVN 8006-6:2009 (ISO 16269-6:2005) xét khoảng dung sai thống kê chỉ dựa trên một mẫu cỡ n. Tiêu chuẩn này xét khoảng dung sai thống kê đối với m tổng thể có cùng độ lệch chuẩn, dựa trên các mẫu từ mỗi trong số m tổng thể, mỗi mẫu có cùng cỡ n.

GIẢI THÍCH DỮ LIỆU THỐNG KÊ - PHẦN 6: XÁC ĐỊNH KHOẢNG DUNG SAI THỐNG KÊ

Statistical interpretation of data - Part 6: Determination of statistical tolerance intervals

1. Phạm vi áp dụng

Tiêu chuẩn này mô tả các qui trình thiết lập khoảng dung sai thống kê bao gồm ít nhất một tỷ lệ qui định các cá thể của tổng thể ứng với mức tin cậy qui định. Tiêu chuẩn này đưa ra cả khoảng dung sai thống kê một phía và hai phía, trong đó khoảng dung sai một phía có giới hạn trên hoặc giới hạn dưới, còn khoảng dung sai hai phía có cả giới hạn trên và giới hạn dưới. Hai phương pháp được đề cập trong tiêu chuẩn này là phương pháp tham số đối với trường hợp đặc trưng nghiên cứu có phân bố chuẩn và phương pháp phi tham số đối với trường hợp chỉ biết là phân bố liên tục. Tiêu chuẩn còn đề cập đến quy trình thiết lập khoảng dung sai thống kê hai phía đối với nhiều hơn một mẫu chuẩn có phương sai chung chưa biết.

2. Tài liệu viện dẫn

Các tài liệu viện dẫn sau rất cần thiết cho việc áp dụng tiêu chuẩn này. Đối với các tài liệu viện dẫn ghi năm công bố thì áp dụng phiên bản được nêu. Đối với các tài liệu viện dẫn không ghi năm công bố thì áp dụng phiên bản mới nhất, bao gồm cả các sửa đổi, bổ sung (nếu có).

TCVN 8244-1:2010 (ISO 3534-1:2006), Thống kê học - Từ vựng và ký hiệu - Phần 1: Thuật ngữ chung về thống kê và thuật ngữ dùng trong xác suất

TCVN 8244-2:2010 (ISO 3534-2:2006), Thống kê học - Từ vựng và ký hiệu - Phần 2: Thống kê ứng dụng.

3. Thuật ngữ, định nghĩa và ký hiệu

3.1. Thuật ngữ và định nghĩa

Tiêu chuẩn này sử dụng các thuật ngữ và định nghĩa nêu trong TCVN 8244-1 (ISO 3534-1), TCVN 8244-2 (ISO 3534-2) và các thuật ngữ, định nghĩa dưới đây.

3.1.1. Khoảng dung sai thống kê (statistical tolerance interval)

Khoảng xác định từ mẫu ngẫu nhiên sao cho có thể có được mức tin cậy qui định để khoảng này phủ ít nhất một tỷ lệ qui định các cá thể của tổng thể được lấy mẫu.

[Nguồn: TCVN 8244-1 (ISO 3534-1). 1.26]

CHÚ THÍCH: Mức tin cậy trong trường hợp này là tỷ lệ của các khoảng được thiết lập theo cách này trong suốt một thời gian dài sẽ chứa ít nhất một tỷ lệ qui định các cá thể của tổng thể được lấy mẫu.

3.1.2. Giới hạn dung sai thống kê (statistical tolerance limit)

Thống kê thể hiện đầu mút của khoảng dung sai thống kê.

[Nguồn: TCVN 8244-1 (ISO 3534-1), 1.27]

CHÚ THÍCH: Khoảng dung sai thống kê có thể là

- một phía (có một trong hai giới hạn được cố định ở ranh giới tự nhiên của biến ngẫu nhiên), trong đó có thể có giới hạn dung sai thống kê trên hoặc dưới, hoặc

- hai phía, trong đó có cả hai giới hạn.

3.1.3. Tỷ lệ phủ (coverage)

Tỷ lệ cá thể của tổng thể nằm trong khoảng dung sai thống kê.

CHÚ THÍCH: Không được nhầm khái niệm này với khái niệm hệ số phủ được sử dụng trong Hướng dẫn trình bày độ không đảm bảo đo (GUM ) ^[5].

3.1.4. Tổng thể chuẩn (normal population)

Tổng thể có phân bố chuẩn.

3.2. Ký hiệu

Tiêu chuẩn này sử dụng các ký hiệu dưới đây.

k₁(n; p; 1 - α) hệ số dùng để xác định giới hạn của khoảng một phía, nghĩa là x_L hoặc x_U khi μ đã biết và σ chưa biết

k₂(n; p; 1 - α) hệ số dùng để xác định giới hạn của khoảng hai phía, nghĩa là x_L hoặc x_U khi μ đã biết và σ chưa biết

k₃(n; p; 1 - α) hệ số dùng để xác định giới hạn của khoảng một phía, nghĩa là x_L hoặc x_U khi μ chưa biết và σ đã biết

k₄(n; p; 1 - α) hệ số dùng để xác định giới hạn của khoảng hai phía, nghĩa là x_L hoặc x_U khi μ chưa biết và σ đã biết

k_C(n; p; 1 - α) hệ số dùng để xác định x_L hoặc x_U khi chưa biết giá trị của μ và σ đối với khoảng dung sai thống kê một phía. Chỉ số C được chọn vì hệ số k này được cho trong bảng ở Phụ lục C.

k_D(n; p; 1 - α) hệ số dùng để xác định x_Li và x_Ui (i = 1,2,…m; m≥2) khi chưa biết giá trị của các trung bình μ_i và giá trị của σ chung đối với m khoảng dung sai thống kê hai phía. Chỉ số D được chọn vì hệ số k này được cho trong bảng ở Phụ lục D.

n Số quan trắc trong mẫu

p tỷ lệ tối thiểu các cá thể của tổng thể được xác nhận là nằm trong khoảng dung sai thống kê

u_p p-phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa

x_i giá trị quan trắc thứ j

x_ij giá trị quan trắc thứ j (j = 1,2,…,n) của mẫu thứ i (i = 1, 2,..., m)

x_max giá trị lớn nhất trong các giá trị quan trắc: x_max = max {x₁,x_2,..., x_n}

x_min giá trị nhỏ nhất trong các giá trị quan trắc: x_min = min {x₁,x_2,..., x_n}

x_L giới hạn dưới của khoảng dung sai thống kê

x_U giới hạn trên của khoảng dung sai thống kê

 trung bình mẫu,

 trung bình mẫu của mẫu thứ i, (i =1,2,…,m),

s độ lệch chuẩn mẫu, S =

s_i độ lệch chuẩn mẫu của mẫu thứ i, (i = 1,2,…,m), 

s_p độ lệch chuẩn mẫu gộp,

1 - α mức tin cậy để khẳng định rằng tỷ lệ của tổng thể nằm trong phạm vi khoảng dung sai là lớn hơn hoặc bằng mức quy định p

μ trung bình tổng thể

μ_i trung bình tổng thể của tổng thể thứ i, (i = 1,2,…,m)

σ độ lệch chuẩn tổng thể

4. Qui trình

4.1. Tổng thể phân bố chuẩn với trung bình và phương sai đã biết

Phân bố của đặc trưng đang nghiên cứu có thể xác định đầy đủ khi đã biết giá trị của trung bình, μ, và phương sai, σ², của tổng thể có phân bố chuẩn. Sẽ có một tỷ lệ p chính xác của tổng thể:

a) nằm bên phải của  (khoảng một phía);

b) nằm bên trái của (khoảng một phía);

c) nằm giữa và (khoảng hai phía).

Trong các công thức ở trên, µ_p là p-phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa.

CHÚ THÍCH: Vì công bố này là đúng nên chúng có độ tin cậy 100 %.

4.2. Tổng thể phân bố chuẩn với trung bình chưa biết và phương sai đã biết

Khi chưa biết một hoặc cả hai tham số của phân bố chuẩn nhưng ước lượng được từ mẫu ngẫu nhiên thì vẫn có thể thiết lập các khoảng có tính chất tương tự như đề cập ở 4.1. Giả định ví dụ là trung bình chưa biết còn phương sai đã biết. Khi đó, hằng số k có thể được tìm sao cho khoảng nằm giữa

chứa ít nhất một tỷ lệ p của tổng thể với mức tin cậy quy định 1 - α. Lưu ý hai khác biệt quan trọng từ trường hợp nêu ở 4.1 trong đó các tham số được giả định là đã biết. Thứ nhất, khi một hoặc nhiều tham số được ước lượng khoảng chứa ít nhất một tỷ lệ p của tổng thể, không phải chính xác là tỷ lệ p của tổng thể. Thứ hai, khi các tham số được ước lượng, tuyên bố này chỉ đúng với mức tin cậy quy định trước là 1 - α. Hệ số k trong biểu thức của các giới hạn nêu trên phụ thuộc vào các tham số chưa biết của phân bố chuẩn, tỷ lệ p, hệ số tin cậy 1 - α và số quan trắc trong mẫu ngẫu nhiên đó. Hệ số k chính xác được cho trong Phụ lục A khi một trong các tham số của phân bố chuẩn chưa biết và tham số còn lại đã biết.

4.3. Tổng thể phân bố chuẩn với trung bình và phương sai chưa biết

Biểu mẫu A và B, cho trong Phụ lục B, áp dụng cho trường hợp cả trung bình và phương sai của tổng thể phân bố chuẩn đều chưa biết. Biểu mẫu A áp dụng cho trường hợp khoảng một phía, Biểu mẫu B áp dụng cho trường hợp khoảng hai phía. Biểu mẫu A được sử dụng với các bảng hệ số k trong Phụ lục C hoặc sử dụng công thức chính xác đối với hệ số k cho trong A.5 của Phụ lục A. Biểu mẫu B được sử dụng với các hệ số k trong cột đầu tiên của các bảng trong Phụ lục D. Chi tiết về dẫn xuất hệ số k trong Phụ lục D được nêu trong Phụ lục E.

4.4. Tổng thể phân bố chuẩn với trung bình và phương sai chung chưa biết

Biểu mẫu C, cho trong Phụ lục B, áp dụng cho trường hợp cả trung bình và phương sai của tổng thể phân bố chuẩn đều chưa biết. Ngoài ra, các phương sai được giả định là như nhau đối với tất cả các tổng thể đang xét, trong trường hợp này ta nói về phương sai chung.

4.5. Phân bố liên tục bất kỳ chưa biết dạng

Nếu đặc trưng nghiên cứu là biến của một tổng thể chưa biết thuộc dạng nào, thì có thể xác định khoảng dung sai thống kê từ các thống kê thứ tự mẫu x(i) của mẫu gồm n quan trắc ngẫu nhiên độc lập. Qui trình nêu trong Biểu mẫu D sử dụng cùng với Bảng E.1 và Bảng E.2 cung cấp các bước xác định cỡ mẫu cần thiết dựa trên các thống kê thứ tự được sử dụng, mức tin cậy và tỷ lệ mong muốn.

CHÚ THÍCH 1: Khoảng dung sai thống kê trong đó việc lựa chọn các đầu mút (dựa trên thống kê thứ tự) không phụ thuộc vào tổng thể được lấy mẫu gọi là khoảng dung sai phi tham số.

CHÚ THÍCH 2: Tiêu chuẩn này không đưa ra các qui trình đối với các dạng phân bố đã biết ngoài phân bố chuẩn. Tuy nhiên, nếu phân bố là liên tục thì có thể sử dụng phương pháp phi tham số. Phần cuối của tiêu chuẩn này đưa ra các tài liệu khoa học tham khảo có thể hỗ trợ cho việc xác định khoảng dung sai đối với các dạng phân bố khác.

5. Ví dụ

5.1. Dữ liệu cho Ví dụ 1 và Ví dụ 2

Biểu mẫu A và Biểu mẫu B, cho trong Phụ lục B, được minh họa bằng Ví dụ 1 và Ví dụ 2 sử dụng các trị số trong ISO 2854:1976^[2], Điều 2, đoạn 1 của phần giới thiệu, Bảng X, sợi 2: 12 kết quả đo tải trọng đứt của sợi chỉ. Cần chú ý rằng số quan trắc, n = 12, được cho trong các ví dụ này ít hơn nhiều so với giá trị khuyến nghị trong TCVN 10860 (ISO 2602) ^[1]. Số liệu và tính toán trong các ví dụ khác nhau được biểu thị bằng centiniutơn (xem Bảng 1).

Bảng 1 - Dữ liệu cho Ví dụ 1 và Ví dụ 2

Giá trị tính bằng centiniutơn

Các phép đo này thu được từ một lô gồm 12 000 ống chỉ, từ một đợt sản xuất, đóng trong 120 hộp, mỗi hộp gồm 100 ống chỉ. Từ lô, lấy ngẫu nhiên 12 hộp và từ mỗi hộp lại lấy ngẫu nhiên một ống chỉ. Từ sợi chỉ trên các ống chỉ này cắt các mẫu thử dài 50 cm, cách đầu mút của nó một khoảng 5 m. Tiến hành các phép thử tại phần giữa của các mẫu thử này. Từ thông tin cho trước có thể giả định rằng tải trọng đứt đo được trong các điều kiện này gần như có phân bố chuẩn. ISO 2854:1976 chứng minh rằng dữ liệu này không trái với giả định về phân bố chuẩn.

Dữ liệu trong Bảng 1 cho các kết quả sau đây:

Cách trình bày các tính toán sẽ được cho trong Ví dụ 1, sử dụng Biểu mẫu A trong Phụ lục B (khoảng một phía, phương sai và trung bình chưa biết).

5.2. Ví dụ 1: Khoảng dung sai thống kê một phía với phương sai và trung bình chưa biết

Giới hạn x_L được yêu cầu sao cho có thể chắc chắn với mức tin cậy 1 - α = 0,95 (95 %) rằng khi được đo trong cùng điều kiện, ít nhất 0,95 (95 %) tải kéo đứt của cá thể trong lô đều lớn hơn x_L. Việc trình bày các kết quả được nêu chi tiết dưới đây.

5.3. Ví dụ 2: Khoảng dung sai thống kê hai phía với trung bình và phương sai chưa biết

Giả định yêu cầu tính các giới hạn x_L và x_U  sao cho có thể chắc chắn với mức tin cậy 1 - α=0,95 rằng tỷ lệ của lô ít nhất bằng p = 0,90 (90 %) tải trọng đứt nằm trong khoảng giữa x_L và x_U .

Trong Bảng D.4 với cột m = 1 và hàng n = 12 cho

từ đó

5.4. Dữ liệu cho Ví dụ 3 và Ví dụ 4

Giả định cần xác định phần trăm chất rắn trong bốn mẻ men bia ướt, mỗi mẻ được lấy từ một nhà cung cấp khác nhau. Phần trăm của bốn mẻ có phân bố chuẩn với trung bình µ_i chưa biết, i= 1,2,3,4 .Từ kinh nghiệm trước đó về các nhà cung cấp này, có thể giả định rằng phương sai là giống nhau. Kiểm nghiệm đối với dữ liệu dưới đây không đưa ra lý do gì có giả định khác. Do đó, dữ liệu được giả định là có phương sai chung σ². Người nghiên cứu muốn xác định khoảng dung sai thống kê hai phía đối với phần trăm chất rắn trong mỗi mẻ.

Các giá trị của mẫu ngẫu nhiên cỡ n = 10 lấy từ bốn mẻ^[14] được cho trong Bảng 2.

Bảng 2 - Dữ liệu cho Ví dụ 3 và Ví dụ 4

Giả trị tính theo phần trăm

Chú ý là giá trị thứ j của mẫu thứ i được ký hiệu là x_ij.

Các kết quả này mang lại:

Trung bình mẫu của mỗi mẻ:

Phương sai mẫu của mỗi mẻ:

Độ lệch chuẩn mẫu gộp:

Bậc tự do của độ lệch chuẩn gộp:

f = m(n - 1) = nm - m = 36

5.5. Ví dụ 3: Khoảng dung sai thống kê một phía đối với các tổng thể riêng rẽ, chưa biết phương sai chung

Giả định muốn tính các khoảng dung sai thống kê dưới cho bốn nhà cung cấp, nghĩa là muốn tính các khoảng chứa ít tỷ lệ p cho tất cả các nhà cung cấp. Bảng C không đưa ra câu trả lời nhưng các khoảng có dạng giống như nêu trong Ví dụ 1, đó là lấy trung bình được ước lượng trừ đi một hằng số nhân với độ lệch chuẩn ước lượng.

trong đó hằng số  phụ thuộc vào cỡ của mẫu thứ i và bậc tự do của độ lệch chuẩn gộp. Biểu thức tính hằng số này được rút ra trong Điều A.5 của Phụ lục A, xem Công thức (A.14);

trong đó ký hiệu cho phân vị 1 - α của phân bố t không trung tâm với tham số không trung tâm  và f bậc tự do. Phân bố t không trung tâm và cụ thể là phân vị của nó có sẵn trong các gói phần mềm thống kê. Giả định mong muốn tỷ lệ p = 0,95 và hệ số tin cậy 1 - α = 0,95. Trong trường hợp này n_i = 10 và , nên hằng số là

trong đó 0,95 phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa u_0,95 = 1,6449 được nhập vào công thức.

Các giá trị cho trong các bảng ở Phụ lục C là trường hợp đặc biệt khi bậc tự do bằng cỡ mẫu trừ đi 1 là bậc tự do của độ lệch chuẩn dựa trên một mẫu đơn cỡ n

nghĩa là trường hợp đặc biệt, trong đó bậc tự do của ước lượng của phương sai là n - 1.

Theo đó, giới hạn dung sai thống kê một phía tính cho cả bốn mẻ như dưới đây.

Mẻ thứ nhất:

Mẻ thứ hai:

Mẻ thứ ba:

Mẻ thứ tư: 

Nếu yêu cầu tính giới hạn dung sai thống kê trên thì cũng kết hợp các đại lượng tương tự, ngoại trừ việc hằng số nhân với sai số chuẩn sẽ được cộng với trung bình ước lượng.

5.6. Ví dụ 4: Khoảng dung sai thống kê hai phía đối với các tổng thể riêng rẽ, chưa biết phương sai chung

Trường hợp 1 - Tính cho tất cả các mẻ (m = 4)

Bảng D.5 trong Phụ lục D đưa ra cho n=10, m=4, f=(m(m-1)=4(10-1)=36, p=0,95 và 1 - α = 0,95 và giá trị của hệ số dung sai thống kê hai phía đối với độ biến động chung σ² chưa biết là

Theo đó, giới hạn dung sai thống kê hai phía tính đồng thời cho cả bốn mẻ như dưới đây.

Mẻ thứ nhất:

Mẻ thứ hai:

Mẻ thứ ba:

Mẻ thứ tư:

CHÚ THÍCH: Giới hạn dưới đã được làm tròn xuống và giới hạn trên đã được làm tròn lên (ở chữ số thập phân thứ hai) để duy trì tính toàn vẹn của công bố về mức tin cậy.

Trường hợp 2 - Tính riêng cho từng mẻ (m = 1)

Có thể tính các giới hạn dung sai này một cách riêng rẽ cho từng mẻ. Đối với n=10, m=1, f=(m(m-1)=1(10-1)=9, p=0,95  và 1 - α = 0,95, giá trị của hệ số dung sai thống kê hai phía đối với độ biến động chung σ² chưa biết là

và có thể tìm trong Phụ lục D (Bảng D.4).

Độ lệch chuẩn mẫu của bốn mẻ:

Do đó, các giới hạn dung sai thống kê hai phía như sau:

Mẻ thứ nhất:

Mẻ thứ hai:

Mẻ thứ ba:

Mẻ thứ tư:

Khi so sánh kết quả của hai trường hợp, có thể công bố rằng khoảng dung sai thống kê đối với mẻ 2, 3 và 4 trong Trường hợp 1 nhỏ hơn đáng kể so với trong Trường hợp 2. Nhưng khoảng dung sai thống kê đối với mẻ thứ nhất trong Trường hợp 2 chỉ lớn hơn một chút. Giải thích là hằng số k_D trong Trường hợp 1 nhỏ hơn ở Trường hợp 2 vì bậc tự do ở Trường hợp 1 lớn hơn. Mẻ 1 có độ lệch chuẩn ước lượng nhỏ nhất và giá trị này bù vào mức tăng ở hằng số k_D.

Ta có thể kết luận rằng khoảng dung sai thống kê tính đồng thời cho nhiều tổng thể có thể cho các khoảng ngắn hơn so với khoảng dung sai thống kê tính cho từng mẫu ngẫu nhiên riêng lẻ, với điều kiện là các tổng thể chuẩn nghiên cứu có cùng phương sai. Tính chất này xuất phát từ thực tế là về trung bình, ước lượng của phương sai tính từ nhiều mẫu ngẫu nhiên “tốt hơn” so với ước lượng tính từ một mẫu ngẫu nhiên, vì trường hợp sau dựa trên số lượng quan trắc nhỏ hơn.

5.7. Ví dụ 5: Phân bố bất kỳ chưa biết dạng

Giả định có một mẫu, x₁, x₂,...,x_n, các quan trắc ngẫu nhiên độc lập trên một tổng thể (liên tục, rời rạc hoặc pha trộn) và cho thống kê thứ tự của nó là x₍₁₎≤x₍₂₎≤….≤x_(n).

Có thể xác định cỡ mẫu cần thiết để đạt được ít nhất là 100(1- α) % mức tin cậy rằng ít nhất 100p % của tổng thể nằm giữa quan trắc nhỏ nhất thứ v [nghĩa là, thống kê thứ tự x_(v)] và quan trắc lớn nhất thứ w [nghĩa là, thống kê thứ tự x_(n-w+1)].

1) Xác định cỡ mẫu n cần thiết để đạt được ít nhất là 95 % mức tin cậy rằng ít nhất 99 % các giá trị đo được của tổng thể nằm giữa quan trắc nhỏ nhất và lớn nhất, nghĩa là giữa thống kê thứ tự mẫu đầu tiên (v = 1) và thống kê thứ tự mẫu thứ n (w = 1).

Dựa trên mô tả ở trên, v + w = 2, p = 0,99 và 1 - α = 0,95. Cỡ mẫu nhỏ nhất xác định từ Bảng E.1 là 473 (mức tin cậy thực tế là 95,020 %). Một số ví dụ được cho phía dưới.

2) Xác định cỡ mẫu n cần thiết để đạt được ít nhất là 95 % mức tin cậy rằng ít nhất 95 % các giá trị đo được của tổng thể lớn hơn hoặc bằng thống kê thứ tự mẫu nhỏ nhất (v = 1 và w = 0).

Dựa trên mô tả ở trên, v + w = 1, p = 0,95 và 1 - α = 0,95. Cỡ mẫu nhỏ nhất xác định từ Bảng E.1 là 59 (mức tin cậy thực tế là 95,151 %).

3) Xác định cỡ mẫu n cần thiết để đạt được ít nhất là 95 % mức tin cậy rằng ít nhất 99 % đơn vị của tổng thể được chấp nhận với tối đa một đơn vị không phù hợp cho phép trong mẫu.

Dựa trên mô tả trong Phụ lục G, v + w = 2 (v + w -1 = 1 vì 1 là số cá thể không phù hợp lớn nhất cho phép trong mẫu), p = 0,99 và 1 - α = 0,95. Cỡ mẫu nhỏ nhất xác định từ Bảng E.1 là 473 (mức tin cậy thực tế là 95,020 %). Chú ý là kết quả này giống như kết quả trong ví dụ đầu tiên của mục này.

4) Giả định rằng phân bố của X dự kiến có đuôi dài (nghĩa là thường tạo ra các giá trị cực trị dương và âm) và các phép đo thêm được xem là cần thiết để đảm bảo khoảng dung sai thống kê thu được có độ dài hữu ích. Nhà thực nghiệm quyết định loại trừ các thống kê thứ tự trên và dưới sao cho khoảng dung sai thống kê được thiết lập giữa thống kê thứ tự nhỏ nhất thứ năm (v = 5) và thống kê thứ tự lớn nhất thứ năm (w = 5). Xác định cỡ mẫu n cần thiết để đạt được ít nhất là 90 % mức tin cậy rằng ít nhất 99 % giá trị đo được của tổng thể nằm trong khoảng này.

Dựa trên mô tả trong Phụ lục G, v + w = 10, p = 0,99 và 1 - α = 0,90. Cỡ mẫu nhỏ nhất xác định từ Bảng E.1 là 1418 (mức tin cậy thực tế là 90,000 %) và thống kê thứ tự kèm theo là x₍₅₎ và x₍₁₄₁₄₎.